习题 5.19

设 $A\in B(X),Y$ 为 $A$ 的不变闭子空间, 设 $B={A|}_Y$. 求证:

(1) 若 $A$ 为紧算子, 则 $B$ 也为紧算子;

(2) 若 $A$ 为自伴算子, 则 $B$ 也为自伴算子;

(3) ${\sigma }_p(B)\subset {\sigma }_p(A)$;

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明

(1) 设 $X$ 为 Banach 空间，$A\in B(X)$ 是紧算子。任取 $Y$ 中的有界序列 $\{y_n\}$，则 $\{y_n\}$ 也是 $X$ 中的有界序列。由 $A$ 的紧性知，存在子列 $\{y_{n_k}\}$ 使得 $\{A{y}_{n_k}\}$ 在 $X$ 中收敛于某 $x\in X$。由于 $Y$ 是 $A$ 的不变子空间且为闭集，有 $A{y}_{n_k}=B{y}_{n_k}\in Y$，且极限 $x$ 属于 $Y$。因此 $\{B{y}_{n_k}\}$ 在 $Y$ 中收敛，故 $B$ 是紧算子。

(2) 设 $X$ 是 Hilbert 空间，内积记为 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$，且 $A=A^{\ast }$。对于任意 $y_1,y_2\in Y$，有 $$⟨B{y}_1,y_2⟩=⟨A{y}_1,y_2⟩=⟨y_1,A{y}_2⟩=⟨y_1,B{y}_2⟩.$$ 所以 $B$ 是对称算子。由于 $B$ 是定义在 Hilbert 空间 $Y$ 上的有界线性算子，对称性等价于自伴性，因此 $B$ 是自伴算子。

(3) 若 $\lambda \in {\sigma }_p(B)$，则存在非零元 $y\in Y$ 使得 $By=\lambda y$，即 $Ay=\lambda y$。这表明 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，故 $\lambda \in {\sigma }_p(A)$。因此 ${\sigma }_p(B)\subset {\sigma }_p(A)$。