习题 5.18

设 $Y$ 为 $X$ 的线性子空间, $A\in B(X)$. 称 $Y$ 为 $A$ 的不变子空间, 若 $T(Y)\subset Y$. 求证:

(1) $A$ 的特征空间均是 $A$ 的不变子空间;

(2)若 $Y$ 为 $A$ 的不变子空间, 则 $\bar{Y}$ 也是 $A$ 的不变子空间;

(3) 任取 $n\ge 1,N\left(A^m\right)$ 和 $R\left(A^m\right)$ 都是 $A$ 的不变子空间;

(4) 若 $B\in B(X)$, 使得 $BA=AB$, 则 $N(B)$ 和 $R(B)$ 均是 $A$ 的不变子空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明

(1) 设 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，特征空间 $E_{\lambda }=\{x\in X:Ax=\lambda x\}$。
对任意 $x\in E_{\lambda }$，有 $Ax=\lambda x$。 计算
$$A(Ax)=A(\lambda x)=\lambda Ax=\lambda (\lambda x)={\lambda }^{2}x,$$
故 $A(Ax)=\lambda (Ax)$，即 $Ax\in E_{\lambda }$。因此 $A(E_{\lambda })\subset E_{\lambda }$，$E_{\lambda }$ 是 $A$ 的不变子空间。

(2) 若 $Y$ 为 $A$ 的不变子空间，则 $A(Y)\subset Y$。$A$ 有界，故连续。任取 $x\in \bar{Y}$，存在序列 $\{x_n\}\subset Y$ 使 $x_n\to x$。由 $A$ 的连续性， $$Ax=\underset{n\to \infty }{\lim }A{x}_n.$$
因 $x_n\in Y$ 且 $A(Y)\subset Y$，有 $A{x}_n\in Y$，从而 $Ax$ 是 $Y$ 中点的极限，故 $Ax\in \bar{Y}$。
此外，在赋范空间中线性子空间的闭包仍为线性子空间，所以 $\bar{Y}$ 也是 $A$ 的不变子空间。

(3) 固定 $n\ge 1$。

• 零空间 $N(A^n)$：若 $x\in N(A^n)$，则 $A^{n}x=0$。于是
  $$A^n(Ax)=A^{n+1}x=A(A^{n}x)=A0=0,$$
  故 $Ax\in N(A^n)$，即 $A(N(A^n))\subset N(A^n)$。

• 值域 $R(A^n)$：若 $y\in R(A^n)$，则存在 $x\in X$ 使得 $y=A^{n}x$。那么
  $$Ay=A(A^{n}x)=A^{n+1}x=A^n(Ax)\in R(A^n),$$
  因为 $Ax\in X$。故 $A(R(A^n))\subset R(A^n)$。

因此 $N(A^n)$ 与 $R(A^n)$ 均为 $A$ 的不变子空间。

(4) 设 $B\in B(X)$ 且 $BA=AB$。

• 零空间 $N(B)$：取 $x\in N(B)$，则 $Bx=0$。由交换性，
  $$B(Ax)=(BA)x=(AB)x=A(Bx)=A0=0,$$
  所以 $Ax\in N(B)$，即 $A(N(B))\subset N(B)$。

• 值域 $R(B)$：取 $y\in R(B)$，则存在 $x\in X$ 使 $y=Bx$。利用交换性，
  $$Ay=A(Bx)=(AB)x=(BA)x=B(Ax)\in R(B),$$
  故 $A(R(B))\subset R(B)$。

因此 $N(B)$ 与 $R(B)$ 都是 $A$ 的不变子空间。 ∎