习题 5.17

设 $A\in B(X)$ 为紧算子, 且 $A^2=A$. 求证 : $\dim (R(A))<\infty$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明. 由于 $A^2=A$, $A$ 是幂等算子. 首先证明值域 $R(A)$ 是闭的: 设 $y_n=A{x}_n\in R(A)$ 且 $y_n\to y$, 则
$$Ay=\underset{n\to \infty }{\lim }A(A{x}_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }A{x}_n=y,$$
故 $y=Ay\in R(A)$, 因此 $R(A)$ 是 $X$ 的闭子空间.

记 $B_X=\{x\in X:\Vert x\Vert \le 1\}$ 为 $X$ 的单位闭球, $B=\{y\in R(A):\Vert y\Vert \le 1\}$ 为 $R(A)$ 的单位闭球. 因为 $R(A)$ 闭, $B$ 也是 $X$ 中的闭集.

对任意 $y\in B$, 由 $y\in R(A)$ 知存在 $z\in X$ 使 $y=Az$, 从而
$$Ay=A(Az)=Az=y.$$
又 $\Vert y\Vert \le 1$ 表明 $y\in B_X$, 因此 $y=Ay\in A(B_X)$. 故 $B\subseteq A(B_X)$.

因为 $A$ 是紧算子, $A(B_X)$ 是相对紧集. 作为其子集, $B$ 也是相对紧的. 又 $B$ 是闭集, 所以 $B$ 是紧集.

在赋范空间中, 一个子空间的单位闭球是紧集当且仅当该子空间是有限维的 (Riesz 引理). 由此得 $\dim R(A)<\infty$. $\square$