习题 5.16

考虑 $C [0, 1]$ 上的算子 $(A x) (t) = t x (t)$ . 求证: $A$ 不为紧算子.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明　构造一列有界连续函数 $(x_{n})_{n \geq 2}$ 使得 $(A x_{n})$ 没有收敛子列。

对 $n \geq 2$ ，令
$a_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{n + 1}, b_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{n},$
则 $[a_{n}, b_{n}] \subset [\frac{1}{2}, 1]$ ，且当 $n \neq = m$ 时 $[a_{n}, b_{n}] \cap [a_{m}, b_{m}] = \emptyset$ （端点相接但内部互不相交）。定义 $x_{n} \in C [0, 1]$ 为
$x_{n} (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{t - a _{n}}{( b _{n} - a _{n} ) /2}, \frac{b _{n} - t}{( b _{n} - a _{n} ) /2}, 0, a_{n} \leq t \leq \frac{a _{n} + b _{n}}{2}, \frac{a _{n} + b _{n}}{2} \leq t \leq b_{n}, 其他 .$
这是一个三角形函数，在区间中点 $t_{n} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2}$ 处取最大值 $1$ ，在 $[a_{n}, b_{n}]$ 外恒为零。显然 $∥ x_{n} ∥_{\infty} = 1$ ，故 $(x_{n})$ 为 $C [0, 1]$ 中的有界序列。

对于算子 $A$ ， $(A x_{n}) (t) = t x_{n} (t)$ 。由于 $x_{n}$ 的支撑集含于 $[a_{n}, b_{n}]$ ，且这些区间互不相交，当 $n \neq = m$ 时 $A x_{n}$ 与 $A x_{m}$ 的支撑集也不相交。于是对任意 $n \neq = m$ 和任意 $t \in [a_{n}, b_{n}]$ ，有 $A x_{m} (t) = 0$ ，从而
$∥ A x_{n} - A x_{m} ∥_{\infty} \geq t \in [a_{n}, b_{n}] sup ∣ A x_{n} (t) ∣ = ∥ A x_{n} ∥_{\infty} .$

现在估计 $∥ A x_{n} ∥_{\infty}$ 。在区间中点 $t_{n}$ 处， $x_{n} (t_{n}) = 1$ ，故
$∥ A x_{n} ∥_{\infty} \geq t_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n}) > \frac{1}{2} .$
因此对任意 $n \neq = m$ 有
$∥ A x_{n} - A x_{m} ∥_{\infty} > \frac{1}{2} .$

这表明 $(A x_{n})$ 中任意两项的距离均大于 $\frac{1}{2}$ ，因而它没有 Cauchy 子列，从而也不可能存在收敛子列。由于 $(x_{n})$ 有界而 $(A x_{n})$ 无收敛子列， $A$ 不是紧算子。 $□$

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习题 5.16

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