习题 5.24

设 $H$ 为 Hilbert 空间, $A\in B(H),\left\{e_1,e_2,\cdots \right\}$ 为 $H$ 的完全标准正交序列. 求证: $A$ 为自伴算子当且仅当 $$⟨A{e}_i,e_j⟩=⟨e_i,A{e}_j⟩,i,j\ge 1.$$

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

必要性：若 $A$ 自伴，即 $A^{\ast }=A$，则对任意 $i,j$， $$⟨A{e}_i,e_j⟩=⟨e_i,A^{\ast }{e}_j⟩=⟨e_i,A{e}_j⟩.$$ 故等式成立。

充分性：假设对任意 $i,j\ge 1$ 有 $⟨A{e}_i,e_j⟩=⟨e_i,A{e}_j⟩$。
对任意固定的 $j$，考虑向量 $(A^{\ast }-A)e_j$。对任意 $i$， $$\begin{array}{rl}⟨e_i,(A^{\ast }-A)e_j⟩& =⟨e_i,A^{\ast }{e}_j⟩-⟨e_i,A{e}_j⟩\\ & =⟨A{e}_i,e_j⟩-⟨e_i,A{e}_j⟩=0,\end{array}$$ 其中第二个等号用到了伴随的定义 $⟨e_i,A^{\ast }{e}_j⟩=⟨A{e}_i,e_j⟩$。
因此，$(A^{\ast }-A)e_j$ 与所有 $e_i$ 正交。由于 $\{e_1,e_2,\cdots \}$ 是完全标准正交序列，其线性张成在 $H$ 中稠密，故正交于所有 $e_i$ 的唯一向量是零向量，即 $(A^{\ast }-A)e_j=0$。从而 $$A{e}_j=A^{\ast }{e}_j,\forall j\ge 1.$$

对任意 $x\in H$，由完全性，存在有限线性组合 $x_n={\sum }_{k=1}^{N_n}{c}_k^{(n)}{e}_k$ 使得 $x_n\to x$。由 $A$ 和 $A^{\ast }$ 的有界性（连续性）得 $$Ax=\underset{n\to \infty }{\lim }A{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _k{c}_k^{(n)}A{e}_k=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _k{c}_k^{(n)}{A}^{\ast }{e}_k=\underset{n\to \infty }{\lim }{A}^{\ast }{x}_n=A^{\ast }x.$$ 因此 $A=A^{\ast }$，即 $A$ 为自伴算子。∎