习题 3.9

在 ${\mathbb{C}}^n$ 上赋子内积 $$⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=\sum _{i=1}^n{x}_i{\bar{y}}_i,$$ 其中 $\mathbf{x}=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right),\mathbf{y}=\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)\in {\mathbb{C}}^n$. 考虑 ${\mathbb{C}}^n$ 的子集 $$M=\left\{\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\in {\mathbb{C}}^n:x_1+x_2+\cdots +x_n=1\right\}.$$ 求证: $M$ 为完备凸集. 求出 $M$ 中具有最小范数的向量.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明凸性:
对任意 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in M$ 和 $t\in [0,1]$,
$$\sum _{i=1}^n(t{x}_i+(1-t)y_i)=t\sum _{i=1}^n{x}_i+(1-t)\sum _{i=1}^n{y}_i=t\cdot 1+(1-t)\cdot 1=1,$$
故 $t\mathbf{x}+(1-t)\mathbf{y}\in M$, 因此 $M$ 是凸集.

证明完备性:
定义线性泛函 $f:{\mathbb{C}}^n\to \mathbb{C}$ 为 $f(\mathbf{x})={\sum }_{i=1}^n{x}_i$.
在赋予欧几里得范数的 ${\mathbb{C}}^n$ 中, $f$ 是连续的.
因为单点集 $\{1\}$ 是 $\mathbb{C}$ 中的闭集, 所以原像 $M=f^{-1}(\{1\})$ 是 ${\mathbb{C}}^n$ 中的闭集.
${\mathbb{C}}^n$ 是有限维内积空间, 故完备, 其闭子集 $M$ 也完备.
所以 $M$ 是完备凸集.

求最小范数向量:
对任意 $\mathbf{x}\in M$, 由 Cauchy–Schwarz 不等式, $$1=\left|\sum _{i=1}^n{x}_i\right|\le {\left(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^2\right)}^{1/2}{\left(\sum _{i=1}^n{1}^2\right)}^{1/2}=\Vert \mathbf{x}\Vert \sqrt{n},$$
因而 $\Vert \mathbf{x}\Vert \ge 1/\sqrt{n}$.
等号成立当且仅当存在常数 $\lambda \in \mathbb{C}$ 使得 $x_i=\lambda \cdot 1$ 对所有 $i$ 成立, 且 $\sum x_i=\lambda n=1$, 故 $\lambda =1/n$.
于是向量
$${\mathbf{x}}_0=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n},\cdots ,\frac{1}{n}\right)$$
满足 $\Vert {\mathbf{x}}_0\Vert =1/\sqrt{n}$, 且是 $M$ 中唯一具有最小范数的向量.