习题 3.10

设 $C[-1,1]$ 为 $[-1,1]$ 上实值连续函数空间, $C_{\text{odd }}[-1,1]$ 为所有 $[-1,1]$ 上实值连续奇函数所构成的空间, $C_{\mathrm{even}}[-1,1]$ 为所有 $[-1,1]$ 上实值连续偶函数所构成的空间. 求证: $$C[-1,1]=C_{\text{odd }}[-1,1]\oplus C_{\text{even }}[-1,1].$$ 若 $C[-1,1]$ 上赋予内积 $$⟨x,y⟩={\int }_{-1}^{1}x(t)y(t)\mathrm{d}t,$$ 求证: 上面的直和为正交直和.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

1. 直和分解

   任取 $x\in C[-1,1]$，定义
   $$x_e(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2},x_o(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}.$$ 由于 $x$ 连续，$x_e$ 和 $x_o$ 也是连续函数。容易验证
   $$x_e(-t)=x_e(t),x_o(-t)=-x_o(t),$$ 故 $x_e\in C_{\text{even}}[-1,1]$，$x_o\in C_{\text{odd}}[-1,1]$，且 $x=x_e+x_o$。
   因此 $C[-1,1]=C_{\text{odd}}[-1,1]+C_{\text{even}}[-1,1]$。

   再证 $C_{\text{odd}}\cap C_{\text{even}}=\{0\}$。若 $f$ 既是奇函数又是偶函数，则对任意 $t\in [-1,1]$， $$f(-t)=f(t)\text{且}f(-t)=-f(t),$$ 从而 $f(t)=-f(t)$，故 $f(t)=0$。于是两个子空间的交仅含零函数，因此和是直和：
   $$C[-1,1]=C_{\text{odd}}[-1,1]\oplus C_{\text{even}}[-1,1].$$

2. 正交性

   $C[-1,1]$ 上赋予内积 $⟨x,y⟩={\int }_{-1}^{1}x(t)y(t)\mathrm{d}t$。
   任取 $f\in C_{\text{odd}}[-1,1]$（奇函数），$g\in C_{\text{even}}[-1,1]$（偶函数）。考虑内积
   $$⟨f,g⟩={\int }_{-1}^{1}f(t)g(t)\mathrm{d}t.$$ 令 $h(t)=f(t)g(t)$。由奇偶性得
   $$h(-t)=f(-t)g(-t)=(-f(t))\cdot g(t)=-f(t)g(t)=-h(t),$$ 故 $h$ 是奇函数。积分区间 $[-1,1]$ 关于原点对称，奇函数的积分为零，即
   $${\int }_{-1}^{1}h(t)\mathrm{d}t=0.$$ 因此 $⟨f,g⟩=0$，这表明 $C_{\text{odd}}[-1,1]\perp C_{\text{even}}[-1,1]$。

   结合直和分解与正交性，即得
   $$C[-1,1]=C_{\text{odd}}[-1,1]\oplus C_{\text{even}}[-1,1]$$ 为正交直和。 $\square$