习题 3.11

证明 $M=\{\left\{x_n\right\}\in {\ell }^2$ : 任给 $n\ge 1$, 有 $x_{2n}=0\}$ 为 ${\ell }^2$ 的闭线性子空间. 求 $M^{\perp }$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

首先，$M$ 显然是 ${\ell }^2$ 的线性子空间：零序列属于 $M$；若 $x,y\in M$，则对任意 $n$ 有 $x_{2n}=y_{2n}=0$，从而 $(\alpha x+\beta y{)}_{2n}=0$，故 $\alpha x+\beta y\in M$。

$M$ 是闭的。

考虑坐标投影 ${\pi }_n:{\ell }^2\to \mathbb{K}$（$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$），${\pi }_n(x)=x_n$。由于 $|{\pi }_n(x)|=|x_n|\le \Vert x\Vert$，${\pi }_n$ 是有界线性泛函，因此连续。
若 $\{x^{(k)}\}\subset M$ 且 $x^{(k)}\to x$ 于 ${\ell }^2$，则由连续性得对每个 $n$ 有 $x_n^{(k)}\to x_n$。特别对 $n=2m$，由 $x_{2m}^{(k)}=0$ 得 $x_{2m}=0$，所以 $x\in M$。故 $M$ 是闭子空间。

（也可直接由 $M={\bigcap }_{m=1}^{\infty }\ker {\pi }_{2m}$，$\ker {\pi }_{2m}$ 为闭集，得 $M$ 闭。）

求 $M^{\perp }$。

记内积 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n\overline{y_n}$。
设 $y\in M^{\perp }$，即对任意 $x\in M$ 有 $⟨x,y⟩=0$。
对任意 $x\in M$，由于 $x_{2n}=0$，故 $$⟨x,y⟩=\sum _{k=1}^{\infty }{x}_{2k-1}\overline{y_{2k-1}}.$$ $M$ 中的向量由奇数坐标自由决定：对任意序列 $a=(a_k)\in {\ell }^2$，存在 $x\in M$ 使 $x_{2k-1}=a_k$（例如取 $x$ 的奇数坐标为 $a_k$，偶数坐标为 $0$）。因此条件等价于 $$\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k\overline{y_{2k-1}}=0\text{对所有 }a\in {\ell }^2\text{ 成立}.$$ 特别取 $a=e^{(j)}$（第 $j$ 个标准基向量，即 $a_k={\delta }_{jk}$），则得到 $\overline{y_{2j-1}}=0$，从而 $y_{2j-1}=0$ 对所有 $j\ge 1$ 成立。

反之，若 $y$ 满足 $y_{2j-1}=0$（对所有 $j$），则对任意 $x\in M$， $$⟨x,y⟩=\sum _{k=1}^{\infty }{x}_{2k-1}\cdot 0+\sum _{k=1}^{\infty }0\cdot \overline{y_{2k}}=0,$$ 故 $y\in M^{\perp }$。

因此 $$M^{\perp }=\{y\in {\ell }^2:y_{2j-1}=0(\forall j\ge 1)\}.$$

即 $M^{\perp }$ 由所有奇数项为零的 ${\ell }^2$ 序列构成。