习题 3.12

设 $X$ 为内积空间, $M,N\subset X$ 为非空子集. 求证:

(1) 若 $M\subset N$, 则 $N^{\perp }\subset M^{\perp }$;

(2) 若 $M\perp N$, 则 $M\subset N^{\perp },N\subset M^{\perp }$;

(3) $M^{\perp }\bigcap N^{\perp }\subset (M\cup N{)}^{\perp }$;

(4) $M^{\perp }\cup N^{\perp }\subset (M\cap N{)}^{\perp }$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

解 设 $X$ 为内积空间, 对任意子集 $A\subset X$, 定义 $A^{\perp }=\{x\in X\mid ⟨x,y⟩=0,\forall y\in A\}$.

(1) 若 $M\subset N$, 则 $N^{\perp }\subset M^{\perp }$.

证明 任取 $x\in N^{\perp }$, 则对任意 $y\in N$ 有 $⟨x,y⟩=0$. 由于 $M\subset N$, 对任意 $m\in M$ 必有 $m\in N$, 从而 $⟨x,m⟩=0$, 故 $x\in M^{\perp }$. 因此 $N^{\perp }\subset M^{\perp }$. $\square$

(2) 若 $M\perp N$ (即 $\forall m\in M,n\in N$, $⟨m,n⟩=0$), 则 $M\subset N^{\perp },N\subset M^{\perp }$.

证明 对任意 $m\in M$, 由 $M\perp N$ 知对任意 $n\in N$ 有 $⟨m,n⟩=0$, 故 $m\in N^{\perp }$, 从而 $M\subset N^{\perp }$. 同理, 对任意 $n\in N$, $⟨n,m⟩=0$ 对所有 $m\in M$ 成立, 故 $n\in M^{\perp }$, 即 $N\subset M^{\perp }$. $\square$

(3) $M^{\perp }\cap N^{\perp }\subset (M\cup N{)}^{\perp }$.

证明 任取 $x\in M^{\perp }\cap N^{\perp }$, 则 $x\in M^{\perp }$ 且 $x\in N^{\perp }$. 于是对任意 $m\in M$ 有 $⟨x,m⟩=0$, 对任意 $n\in N$ 有 $⟨x,n⟩=0$. 对任意 $y\in M\cup N$, $y$ 属于 $M$ 或 $N$, 总有 $⟨x,y⟩=0$, 故 $x\in (M\cup N{)}^{\perp }$. 因此包含关系成立. $\square$

(4) $M^{\perp }\cup N^{\perp }\subset (M\cap N{)}^{\perp }$.

证明 任取 $x\in M^{\perp }\cup N^{\perp }$. 若 $x\in M^{\perp }$, 则对任意 $m\in M$ 有 $⟨x,m⟩=0$. 特别地, 对任意 $y\in M\cap N$ (必有 $y\in M$), 有 $⟨x,y⟩=0$, 故 $x\in (M\cap N{)}^{\perp }$. 若 $x\in N^{\perp }$, 类似地, 对任意 $y\in M\cap N$ ( $y\in N$ ) 有 $⟨x,y⟩=0$, 故 $x\in (M\cap N{)}^{\perp }$. 两种情形下均有 $x\in (M\cap N{)}^{\perp }$, 因此包含关系成立. $\square$