习题 3.13

设 $X$ 为内积空间, $M\subset X$ 为完全集. 求证: $M^{\perp }=\{0\}$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明
由于 $M$ 为完全集，即 $\mathrm{span}(M)$ 在 $X$ 中稠密。任取 $x\in M^{\perp }$，则对任意 $m\in M$ 有 $⟨x,m⟩=0$，由内积的线性性可知对任意 $y\in \mathrm{span}(M)$ 也有 $⟨x,y⟩=0$。

由稠密性，存在序列 $\{y_n\}\subset \mathrm{span}(M)$ 使得 $y_n\to x$（按 $X$ 的范数）。对内积使用连续性（由 Cauchy–Schwarz 不等式保证）：
$$|⟨x,y_n⟩-⟨x,x⟩|=|⟨x,y_n-x⟩|\le \Vert x\Vert \Vert y_n-x\Vert \to 0,$$ 故 $⟨x,y_n⟩\to ⟨x,x⟩$。但 $⟨x,y_n⟩=0$ 对所有 $n$ 成立，从而 $⟨x,x⟩=0$，即 $\Vert x\Vert =0$，因此 $x=0$。

这就证明了 $M^{\perp }\subseteq \{0\}$，而 $\{0\}\subseteq M^{\perp }$ 显然，所以 $M^{\perp }=\{0\}$。∎