习题 3.14

设 $H$ 为 Hilbert 空间, $A\in B(H)$, 且存在 $C>0$, 使得 $$C\Vert x{\Vert }^2\le |⟨Ax,x⟩|,x\in H.$$ 求证 : $A$ 为一一映射, $A^{-1}\in B(H)$ 且 $\Vert A^{-1}\Vert \le \frac{1}{C}$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明 由条件 $C\Vert x{\Vert }^2\le |⟨Ax,x⟩|$ 及 Cauchy–Schwarz 不等式 $|⟨Ax,x⟩|\le \Vert Ax\Vert \Vert x\Vert$ 可得
$$C\Vert x{\Vert }^2\le \Vert Ax\Vert \Vert x\Vert ⟹C\Vert x\Vert \le \Vert Ax\Vert (\forall x\in H).\text{\hspace{1em}(1)}$$

1. $A$ 是单射. 若 $Ax=0$，则由 (1) 得 $C\Vert x\Vert \le 0$，故 $\Vert x\Vert =0$，即 $x=0$，所以 $A$ 是单射.

2. $\mathcal{R}(A)$ 是闭子空间. 设 $\{y_n\}\subset \mathcal{R}(A)$ 收敛于 $y\in H$，记 $y_n=A{x}_n$. 由 (1)， $$\Vert x_n-x_m\Vert \le \frac{1}{C}\Vert A(x_n-x_m)\Vert =\frac{1}{C}\Vert y_n-y_m\Vert ,$$ 故 $\{x_n\}$ 是 Cauchy 列. 因 $H$ 完备，存在 $x\in H$ 使 $x_n\to x$. 由 $A$ 的连续性得 $Ax=y$，从而 $y\in \mathcal{R}(A)$，因此 $\mathcal{R}(A)$ 闭.

3. $\mathcal{R}(A)$ 在 $H$ 中稠密. 假设存在非零 $z\in H$ 使得 $z\perp \mathcal{R}(A)$，即对一切 $x\in H$ 有 $⟨Ax,z⟩=0$. 取 $x=z$，则 $⟨Az,z⟩=0$，与条件 $C\Vert z{\Vert }^2\le |⟨Az,z⟩|$ 矛盾. 故 $\mathcal{R}(A{)}^{\perp }=\{0\}$，从而 $\mathcal{R}(A)$ 在 $H$ 中稠密.

结合 2 与 3 得 $\mathcal{R}(A)=H$，所以 $A$ 是满射. 因此 $A$ 是双射，逆算子 $A^{-1}$ 存在且线性.

4. $A^{-1}$ 有界且 $\Vert A^{-1}\Vert \le 1/C$. 对任意 $y\in H$，存在唯一 $x\in H$ 使 $y=Ax$，由 (1) 得 $$\Vert A^{-1}y\Vert =\Vert x\Vert \le \frac{1}{C}\Vert Ax\Vert =\frac{1}{C}\Vert y\Vert ,$$ 故 $A^{-1}$ 有界且 $\Vert A^{-1}\Vert \le 1/C$.

综上，$A$ 为一一映射，$A^{-1}\in B(H)$ 且 $\Vert A^{-1}\Vert \le 1/C$. $\square$