习题 3.15

设 $H$ 为 Hilbert 空间, $M$ 为其闭线性子空间, $x\in H$. 求证: $$\rho (x,M)=\sup \left\{|⟨x,y⟩|:y\in M^{\perp },\Vert y\Vert =1\right\}.$$

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

由于 $M$ 是 Hilbert 空间 $H$ 的闭线性子空间, 故有正交分解 $H=M\oplus M^{\perp }$. 对任意 $x\in H$, 存在唯一的 $u\in M$, $v\in M^{\perp }$, 使得 $x=u+v$, 且 $u$ 是 $x$ 在 $M$ 上的正交投影.

一方面, 对任意 $z\in M$, $$\Vert x-z{\Vert }^2=\Vert (u-z)+v{\Vert }^2=\Vert u-z{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2\ge \Vert v{\Vert }^2,$$ 因为 $u-z\in M$, $v\in M^{\perp }$ 正交. 当 $z=u$ 时取等, 故 $$\rho (x,M):=\underset{z\in M}{\inf }\Vert x-z\Vert =\Vert v\Vert .$$

另一方面, 考虑集合 $\{|⟨x,y⟩|:y\in M^{\perp },\Vert y\Vert =1\}$. 对任意满足条件的 $y$, 由 $u\in M$, $y\in M^{\perp }$ 知 $⟨u,y⟩=0$, 于是 $$⟨x,y⟩=⟨u+v,y⟩=⟨v,y⟩.$$ 由 Cauchy-Schwarz 不等式, $$|⟨v,y⟩|\le \Vert v\Vert \Vert y\Vert =\Vert v\Vert .$$ 若 $v\ne 0$, 取 $y_0=v/\Vert v\Vert \in M^{\perp }$, $\Vert y_0\Vert =1$, 则有 $|⟨x,y_0⟩|=\Vert v\Vert$; 若 $v=0$, 则对任意 $y$ 均有 $|⟨x,y⟩|=0$. 因此 $$\underset{y\in M^{\perp },\Vert y\Vert =1}{\sup }|⟨x,y⟩|=\Vert v\Vert .$$

综上, $$\rho (x,M)=\Vert v\Vert =\underset{y\in M^{\perp },\Vert y\Vert =1}{\sup }|⟨x,y⟩|.$$

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