习题 3.16

设 $H$ 为 Hilbert 空间, $M\subset H$ 为非空子集. 求证: $M^{\perp \perp }$ 为 $H$ 中包含 $M$ 的最小闭线性子空间, 即若 $N$ 为 $H$ 的闭线性子空间, 且 $M\subset N$, 则必有 $M^{\perp \perp }\subset N$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

首先，对任意子集 $A\subset H$，$A^{\perp }$ 是 $H$ 的闭线性子空间。这是因为对每个 $x\in A$，映射 $y\mapsto ⟨x,y⟩$ 连续，故 $A^{\perp }={\bigcap }_{x\in A}\{y\in H:⟨x,y⟩=0\}$ 为闭集；且容易验证 $A^{\perp }$ 是线性子空间。从而 $M^{\perp }$ 与 $M^{\perp \perp }=(M^{\perp }{)}^{\perp }$ 均为 $H$ 的闭线性子空间。

其次，证明 $M\subset M^{\perp \perp }$。任取 $x\in M$，对任意 $y\in M^{\perp }$，由正交补的定义有 $⟨x,y⟩=0$，因此 $x\in (M^{\perp }{)}^{\perp }=M^{\perp \perp }$。故 $M\subset M^{\perp \perp }$。

最后，证明 $M^{\perp \perp }$ 是最小的具有此性质的闭线性子空间。设 $N$ 是 $H$ 的闭线性子空间，且 $M\subset N$。则

• 由 $M\subset N$ 可得 $N^{\perp }\subset M^{\perp }$（若 $y\in N^{\perp }$，则对任意 $x\in N$ 有 $⟨x,y⟩=0$，特别地对 $x\in M$ 也成立，故 $y\in M^{\perp }$）。
• 对包含关系 $N^{\perp }\subset M^{\perp }$ 取正交补，得到 $M^{\perp \perp }\subset N^{\perp \perp }$（一般地，若 $A\subset B$，则 $B^{\perp }\subset A^{\perp }$；再取正交补即得 $A^{\perp \perp }\subset B^{\perp \perp }$）。
• 由于 $N$ 是闭线性子空间，根据投影定理有 $H=N\oplus N^{\perp }$，从而 $N=N^{\perp \perp }$。

因此 $M^{\perp \perp }\subset N$。

综上所述，$M^{\perp \perp }$ 是 $H$ 中包含 $M$ 的最小闭线性子空间。