习题 3.17

求证: Hilbert 空间 $H$ 的线性子空间 $M$ 为闭集当且仅当 $M=M^{\perp \perp }$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明

设 $H$ 为 Hilbert 空间，$M\subseteq H$ 为线性子空间。回顾正交补的定义： $$M^{\perp }=\{x\in H\mid ⟨x,y⟩=0,\forall y\in M\},$$ 它是一个闭线性子空间。进一步，对于任意子集 $A\subseteq H$ 恒有 $A\subseteq A^{\perp \perp }$，且 $A^{\perp }$ 与 $A^{\perp \perp }$ 均为闭集。

1. $M=M^{\perp \perp }⟹M$ 是闭集

因为 $M^{\perp }$ 是闭集，而 $M^{\perp \perp }=(M^{\perp }{)}^{\perp }$ 作为正交补也是闭集。若 $M=M^{\perp \perp }$，则 $M$ 等于一个闭集，故 $M$ 是闭的。

2. $M$ 是闭集 $⟹M=M^{\perp \perp }$

• 包含关系 $M\subseteq M^{\perp \perp }$：对任意 $x\in M$ 及 $y\in M^{\perp }$，由定义 $⟨x,y⟩=0$，所以 $x\in (M^{\perp }{)}^{\perp }=M^{\perp \perp }$。
• 包含关系 $M^{\perp \perp }\subseteq M$：任取 $x\in M^{\perp \perp }$。由于 $M$ 是闭线性子空间，投影定理给出唯一分解 $$x=y+z,y\in M,z\in M^{\perp }.$$ 计算内积 $$⟨x,z⟩=⟨y+z,z⟩=⟨y,z⟩+⟨z,z⟩=0+\Vert z{\Vert }^2=\Vert z{\Vert }^2.$$ 另一方面，因 $x\in M^{\perp \perp }$ 而 $z\in M^{\perp }$，有 $⟨x,z⟩=0$。于是 $\Vert z{\Vert }^2=0$，即 $z=0$，从而 $x=y\in M$。
  故 $M^{\perp \perp }\subseteq M$。

综上得 $M=M^{\perp \perp }$。

由以上两部分即证：$M$ 为闭集当且仅当 $M=M^{\perp \perp }$。