习题 3.18

求最小值: ${\min }_{a,b,c\in \mathbb{R}}{\int }_{-1}^1{\left|t^3-a-bt-c{t}^2\right|}^2\mathrm{d}t$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

最小值问题归结为求 $t^3$ 在区间 $[-1,1]$ 上关于 $L^2$ 内积到二次多项式空间 $P_2=\mathrm{span}\{1,t,t^2\}$ 的正交投影。令 $p(t)=a+bt+c{t}^2$，需求

$$\underset{a,b,c\in \mathbb{R}}{\min }{\int }_{-1}^1|t^3-a-bt-c{t}^2{|}^{2}dt.$$

定义内积 $⟨f,g⟩={\int }_{-1}^{1}f(t)g(t)dt$，则法方程为

$$\left[\begin{array}{ccc}⟨1,1⟩& ⟨1,t⟩& ⟨1,t^2⟩\\ ⟨t,1⟩& ⟨t,t⟩& ⟨t,t^2⟩\\ ⟨t^2,1⟩& ⟨t^2,t⟩& ⟨t^2,t^2⟩\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}⟨1,t^3⟩\\ ⟨t,t^3⟩\\ ⟨t^2,t^3⟩\end{array}\right].$$

计算各内积：

$$\begin{array}{rlrlrl}⟨1,1⟩& =2,& ⟨1,t⟩& =0,& ⟨1,t^2⟩& =\frac{2}{3},\\ ⟨t,t⟩& =\frac{2}{3},& ⟨t,t^2⟩& =0,& ⟨t^2,t^2⟩& =\frac{2}{5},\\ ⟨1,t^3⟩& =0,& ⟨t,t^3⟩& =\frac{2}{5},& ⟨t^2,t^3⟩& =0.\end{array}$$

故法方程化为

$$\{\begin{array}{l}2a+\frac{2}{3}c=0,\\ \frac{2}{3}b=\frac{2}{5},\\ \frac{2}{3}a+\frac{2}{5}c=0.\end{array}$$

解得 $b=\frac{3}{5}$，并由第一、三式得 $a=0,c=0$。最佳逼近多项式为

$$p^{\ast }(t)=\frac{3}{5}t.$$

此时残差平方范数为

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-1}^1{\left(t^3-\frac{3}{5}t\right)}^{2}dt& ={\int }_{-1}^1\left(t^6-\frac{6}{5}{t}^4+\frac{9}{25}{t}^2\right)dt\\ & =\frac{2}{7}-\frac{6}{5}\cdot \frac{2}{5}+\frac{9}{25}\cdot \frac{2}{3}\\ & =\frac{2}{7}-\frac{12}{25}+\frac{6}{25}\\ & =\frac{2}{7}-\frac{6}{25}=\frac{50}{175}-\frac{42}{175}=\frac{8}{175}.\end{array}$$

因此所求最小值为 $\boxed{\frac{8}{175}}$。