习题 3.19

设 $H$ 为 Hilbert 空间, $M$ 为其线性子空间, $Y$ 为 Banach 空间, $T\in B(M,Y)$. 求证: 存在 $T_0\in B(H,Y)$, 使得 ${T_0|}_M=T,\Vert T_0\Vert =\Vert T\Vert$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明 由于 $H$ 为 Hilbert 空间，$M\subseteq H$ 为线性子空间，$Y$ 为 Banach 空间，$T:M\to Y$ 是有界线性算子，即 $T\in B(M,Y)$。

第一步：将 $T$ 连续延拓到 $\overline{M}$ 上。
因为 $M$ 未必闭，但 $\overline{M}$ 是 $H$ 的闭子空间。任取 $x\in \overline{M}$，存在 $\{x_n\}\subseteq M$ 使得 $x_n\to x$。由于 $T$ 有界，故一致连续，且 $Y$ 完备，可定义
$$T_1(x):=\underset{n\to \infty }{\lim }T(x_n).$$
该极限存在且与逼近序列的选取无关。易证 $T_1:\overline{M}\to Y$ 为线性算子，且对任意 $x\in M$ 有 $T_1(x)=T(x)$。此外，
$$\Vert T_1(x)\Vert =\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert T(x_n)\Vert \le \underset{n\to \infty }{\lim }\Vert T\Vert \Vert x_n\Vert =\Vert T\Vert \Vert x\Vert ,$$
所以 $\Vert T_1\Vert \le \Vert T\Vert$；又因为 $T_1$ 是 $T$ 的延拓，故 $\Vert T_1\Vert \ge \Vert T\Vert$，从而 $\Vert T_1\Vert =\Vert T\Vert$。因此 $T_1\in B(\overline{M},Y)$ 且保持范数。

第二步：利用正交投影定义 $T_0$。
因为 $H$ 是 Hilbert 空间，$\overline{M}$ 为闭子空间，故有正交分解 $H=\overline{M}\oplus {\overline{M}}^{\perp }$。记 $P:H\to \overline{M}$ 为到 $\overline{M}$ 的正交投影。定义
$$T_0:H\to Y,T_0(x)=T_1(Px),x\in H.$$
显然 $T_0$ 是线性的。

第三步：验证 ${T_0|}_M=T$。
若 $x\in M\subseteq \overline{M}$，则 $Px=x$，从而 $T_0(x)=T_1(x)=T(x)$，故 $T_0$ 是 $T$ 的延拓。

第四步：证明 $\Vert T_0\Vert =\Vert T\Vert$。
一方面，因为 $T_0$ 是 $T$ 的延拓，所以 $\Vert T_0\Vert \ge \Vert T\Vert$。
另一方面，对任意 $x\in H$，设 $x=u+v$，其中 $u=Px\in \overline{M}$，$v\in {\overline{M}}^{\perp }$，则 $\Vert x{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2$，从而 $\Vert u\Vert \le \Vert x\Vert$。于是
$$\Vert T_0(x)\Vert =\Vert T_1(u)\Vert \le \Vert T_1\Vert \Vert u\Vert =\Vert T\Vert \Vert u\Vert \le \Vert T\Vert \Vert x\Vert .$$
故 $\Vert T_0\Vert \le \Vert T\Vert$。综上 $\Vert T_0\Vert =\Vert T\Vert$。

因此 $T_0\in B(H,Y)$ 满足要求。 ∎