习题 3.20

设 $H$ 为 Hilbert 空间, $\left\{e_n:n\ge 1\right\}$ 和 $\left\{f_n:n\ge 1\right\}$ 均为 $H$ 的标准正交集, 满足 $$\sum _{n=1}^{\infty }{\Vert e_n-f_n\Vert }^2<1,$$ 且 $\left\{f_n:n\ge 1\right\}$ 为标准正交基. 求证: $\left\{e_n:n\ge 1\right\}$ 也为标准正交基.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明 定义算子 $U:H\to H$ 如下：对任意 $x\in H$，由于 $\{f_n\}$ 是标准正交基，有 $$x=\sum _{n=1}^{\infty }⟨x,f_n⟩f_n,$$ 令 $$Ux=\sum _{n=1}^{\infty }⟨x,f_n⟩e_n.$$ 因为 $\{e_n\}$ 是标准正交集，由 Bessel 不等式知级数收敛且 $$\Vert Ux{\Vert }^2=\sum _{n=1}^{\infty }|⟨x,f_n⟩{|}^2=\Vert x{\Vert }^2,$$ 故 $U$ 是等距算子。

考虑 $I-U$，计算其在基向量 $f_n$ 上的作用： $$(I-U)f_n=f_n-e_n.$$ 由条件 $$\sum _{n=1}^{\infty }\Vert (I-U)f_n{\Vert }^2=\sum _{n=1}^{\infty }\Vert f_n-e_n{\Vert }^2<1.$$ 上式左端正是算子 $I-U$ 的 Hilbert–Schmidt 范数 的平方 $\Vert I-U{\Vert }_{\mathrm{HS}}^2$，因此 $\Vert I-U{\Vert }_{\mathrm{HS}}<1$。

对于任意有界线性算子 $T$，有算子范数估计 $\Vert T\Vert \le \Vert T{\Vert }_{\mathrm{HS}}$（取单位向量 $x=\sum a_n{f}_n$，则 $\Vert Tx\Vert \le (\sum |a_n{|}^2{)}^{1/2}(\sum \Vert T{f}_n{\Vert }^2{)}^{1/2}=\Vert x\Vert \Vert T{\Vert }_{\mathrm{HS}}$）。于是 $$\Vert I-U\Vert \le \Vert I-U{\Vert }_{\mathrm{HS}}<1.$$

因为 $\Vert I-U\Vert <1$，Neumann 级数 ${\sum }_{k=0}^{\infty }(I-U{)}^k$ 收敛，其极限为 $U^{-1}$，故 $U$ 可逆。又 $U$ 是等距，从而 $U$ 是酉算子（满射）。因此 $$H=U(H)=\overline{\mathrm{span}}\{e_n\}.$$

由于 $\{e_n\}$ 已是标准正交集且其闭线性张成等于全空间，所以 $\{e_n\}$ 是 $H$ 的标准正交基。$\square$