习题 3.21

在实连续函数空间 $C[-1,1]$ 上考虑内积 $$⟨x,y⟩={\int }_{-1}^{1}x(t)y(t)\mathrm{d}t.$$ 对 $n\ge 0$, 考虑 $x_n(t)=t^n$. 利用 Gram-Schmidt 标准正交化方法将 $x_0,x_1,x_2$ 标准正交化.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

对函数 $x_0(t)=1$, $x_1(t)=t$, $x_2(t)=t^2$ 应用 Gram–Schmidt 标准正交化过程。

第一步： 取 $v_0=x_0=1$，
计算 $\Vert v_0{\Vert }^2=⟨v_0,v_0⟩={\int }_{-1}^{1}1\cdot 1dt=2$。

第二步： 计算 $v_1=x_1-\frac{⟨x_1,v_0⟩}{\Vert v_0{\Vert }^2}{v}_0$，
其中 $⟨x_1,v_0⟩={\int }_{-1}^{1}t\cdot 1dt=0$，故 $v_1=x_1=t$。
计算 $\Vert v_1{\Vert }^2={\int }_{-1}^1{t}^{2}dt=\frac{2}{3}$。

第三步： 计算 $v_2=x_2-\frac{⟨x_2,v_0⟩}{\Vert v_0{\Vert }^2}{v}_0-\frac{⟨x_2,v_1⟩}{\Vert v_1{\Vert }^2}{v}_1$，
$⟨x_2,v_0⟩={\int }_{-1}^1{t}^2\cdot 1dt=\frac{2}{3}$，
$\frac{⟨x_2,v_0⟩}{\Vert v_0{\Vert }^2}=\frac{2/3}{2}=\frac{1}{3}$，
$⟨x_2,v_1⟩={\int }_{-1}^1{t}^2\cdot tdt={\int }_{-1}^1{t}^{3}dt=0$，
所以 $v_2=x_2-\frac{1}{3}{v}_0=t^2-\frac{1}{3}$。
计算 $\Vert v_2{\Vert }^2={\int }_{-1}^1{\left(t^2-\frac{1}{3}\right)}^{2}dt={\int }_{-1}^1\left(t^4-\frac{2}{3}{t}^2+\frac{1}{9}\right)dt=\frac{2}{5}-\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=\frac{2}{5}-\frac{2}{9}=\frac{8}{45}$。

第四步： 标准化，得到标准正交函数组：

$$\begin{array}{rl}{e}_0(t)& =\frac{v_0(t)}{\Vert v_0\Vert }=\frac{1}{\sqrt{2}},\\ e_1(t)& =\frac{v_1(t)}{\Vert v_1\Vert }=\frac{t}{\sqrt{2/3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}t,\\ e_2(t)& =\frac{v_2(t)}{\Vert v_2\Vert }=\frac{t^2-1/3}{\sqrt{8/45}}=\sqrt{\frac{45}{8}}\left(t^2-\frac{1}{3}\right).\end{array}$$

可以化简 $e_2$ 为：

$$e_2(t)=\frac{\sqrt{10}}{4}(3t^2-1).$$

容易验证 $⟨e_i,e_j⟩={\delta }_{ij}$（$i,j=0,1,2$）。