习题 3.22

设 $H$ 为 Hilbert 空间, $\left\{e_n:n\ge 1\right\}$ 为 $H$ 的标准正交序列, 且 $$M=\mathrm{span}\left\{e_n:n\ge 1\right\}.$$ $x\in H$. 求证 $x\in \bar{M}$ 当且仅当存在 $a_i\in \mathbb{K}$, 使得 $x={\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{e}_n$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

设 $H$ 为 Hilbert 空间，$\{e_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 为标准正交序列，记 $M=\mathrm{span}\{e_n:n\ge 1\}$ 为其有限线性组合全体。需证：对任意 $x\in H$， $$x\in \overline{M}⟺\exists \{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }\subset \mathbb{K},x=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{e}_n.$$

必要性（$\Rightarrow$）：假设 $x\in \overline{M}$。令 $$P_{N}x=\sum _{n=1}^N⟨x,e_n⟩e_n,$$ 此为 $x$ 在子空间 $M_N=\mathrm{span}\{e_1,\dots ,e_N\}$ 上的正交投影。由正交投影的性质，对任意 $z\in M_N$ 有 $$\Vert x-P_{N}x\Vert \le \Vert x-z\Vert .$$

因为 $M$ 在 $\overline{M}$ 中稠密，故对任意 $\epsilon >0$，存在 $y\in M$ 使得 $\Vert x-y\Vert <\epsilon$。设 $y$ 用到的基向量下标的最大值为 $N_0$，则 $y\in M_{N_0}$。于是对任意 $N\ge N_0$，$y\in M_N$，从而 $$\Vert x-P_{N}x\Vert \le \Vert x-y\Vert <\epsilon .$$ 这表明 ${\lim }_{N\to \infty }{P}_{N}x=x$，即 $$x=\sum _{n=1}^{\infty }⟨x,e_n⟩e_n.$$ 取 $a_n=⟨x,e_n⟩$ 即得所需表示。

充分性（$\Leftarrow$）：若 $x={\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{e}_n$，令部分和 $$s_N=\sum _{n=1}^N{a}_n{e}_n.$$ 显然 $s_N\in M$。由级数收敛的定义，$s_N\to x$ 于 $H$。因此 $x$ 是 $M$ 中序列的极限，故 $x\in \overline{M}$。

综上，命题得证。