习题 3.23

设 $X$ 为内积空间, 任取 $z\in X$, 定义 $f_z(x)=⟨x,z⟩$, 则有 $f_z\in X^{\prime }$. 求证: 若映射 $z\mapsto f_z$ 为从 $X$ 到 $X^{\prime }$ 的满射, 则 $X$ 为 Hilbert 空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明

设 $X$ 是内积空间，定义映射 $\Phi :X\to X^{\prime }$ 为
$$\Phi (z)=f_z,f_z(x)=⟨x,z⟩,\forall x\in X.$$

第一步：$\Phi$ 是等距映射

对任意 $z\in X$，$f_z$ 是线性泛函且
$$|f_z(x)|=|⟨x,z⟩|\le \Vert x\Vert \Vert z\Vert ,$$ 故 $\Vert f_z\Vert \le \Vert z\Vert$。
当 $z\ne 0$ 时，取 $x=z$，则
$$|f_z(z)|=⟨z,z⟩=\Vert z{\Vert }^2,$$ 从而 $\Vert f_z\Vert \ge \frac{|f_z(z)|}{\Vert z\Vert }=\Vert z\Vert$。
因此 $\Vert f_z\Vert =\Vert z\Vert$；$z=0$ 时显然成立。所以 $\Phi$ 是等距映射，特别地它是单射。

第二步：$\Phi$ 是满射

由题设，$\Phi$ 为满射，故 $\Phi$ 是双射。

第三步：$X^{\prime }$ 是 Banach 空间

对偶空间 $X^{\prime }$（有界线性泛函全体，赋以算子范数）总是完备的，与 $X$ 是否完备无关。因此 $X^{\prime }$ 是 Banach 空间。

第四步：$X$ 的完备性

任取 $X$ 中的 Cauchy 序列 $\{x_n\}$。由 $\Phi$ 等距知 $\{\Phi (x_n)\}$ 是 $X^{\prime }$ 中的 Cauchy 序列。因为 $X^{\prime }$ 完备，存在 $f\in X^{\prime }$ 使得 $\Phi (x_n)\to f$（按范数）。
$\Phi$ 满射，故有 $z\in X$ 满足 $\Phi (z)=f$。再利用等距性：
$$\Vert x_n-z\Vert =\Vert \Phi (x_n)-\Phi (z)\Vert \to 0(n\to \infty ),$$ 所以 $x_n\to z$。因此 $X$ 是完备的赋范空间。

结论

$X$ 是完备的内积空间，从而是 Hilbert 空间。∎