习题 3.24

设 $H_1,H_2$ 为 Hilbert 空间, $T\in B\left(H_1,H_2\right)$. 若 $M_1\subset H_1,M_2\subset H_2$, 使得 $T\left(M_1\right)\subset M_2$, 求证: $T^{\ast }\left(M_2^{\perp }\right)\subset M_1^{\perp }$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：任取 $y\in M_2^{\perp }$，要证 $T^{\ast }y\in M_1^{\perp }$，即对任意 $x\in M_1$ 有 $⟨T^{\ast }y,x{⟩}_{H_1}=0$。

由伴随算子的定义，对于 $x\in H_1,y\in H_2$ 恒有 $$⟨T^{\ast }y,x{⟩}_{H_1}=⟨y,Tx{⟩}_{H_2}.$$

因 $x\in M_1$，由条件 $T(M_1)\subset M_2$ 可知 $Tx\in M_2$。又 $y\in M_2^{\perp }$，故 $⟨y,Tx{⟩}_{H_2}=0$。从而 $$⟨T^{\ast }y,x{⟩}_{H_1}=0,\forall x\in M_1.$$ 即 $T^{\ast }y\perp M_1$，亦即 $T^{\ast }y\in M_1^{\perp }$。

由 $y$ 的任意性得 $T^{\ast }(M_2^{\perp })\subset M_1^{\perp }$。证毕。