习题 3.25

在习题 24 中, 设 $M_{1}, M_{2}$ 均为闭线性子空间, 求证: $T (M_{1}) \subset M_{2}$ 当且仅当 $T^{*} (M_{2}^{⊥}) \subset M_{1}^{⊥} .$

解答

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证明

设 $H$ 是 Hilbert 空间， $M_{1}, M_{2}$ 是 $H$ 的闭线性子空间， $T \in L (H)$ 。

必要性 ( $\Rightarrow$ )
假设 $T (M_{1}) \subset M_{2}$ 。取任意 $y \in M_{2}^{⊥}$ ，则对任意 $x \in M_{1}$ 有
$⟨ T^{*} y, x ⟩ = ⟨ y, T x ⟩ .$
因为 $x \in M_{1}$ ，故 $T x \in T (M_{1}) \subset M_{2}$ ，而 $y \in M_{2}^{⊥}$ ，所以 $⟨ y, T x ⟩ = 0$ 。从而 $⟨ T^{*} y, x ⟩ = 0$ 对所有 $x \in M_{1}$ 成立，即 $T^{*} y \in M_{1}^{⊥}$ 。由 $y$ 的任意性得 $T^{*} (M_{2}^{⊥}) \subset M_{1}^{⊥}$ 。

充分性 ( $\Leftarrow$ )
假设 $T^{*} (M_{2}^{⊥}) \subset M_{1}^{⊥}$ 。由于 $M_{2}$ 是闭子空间，有 $M_{2} = (M_{2}^{⊥})^{⊥}$ 。要证 $T (M_{1}) \subset M_{2}$ ，只需证明对任意 $x \in M_{1}$ 和任意 $y \in M_{2}^{⊥}$ 均有 $⟨ T x, y ⟩ = 0$ 。

任取 $x \in M_{1}$ 和 $y \in M_{2}^{⊥}$ ，则
$⟨ T x, y ⟩ = ⟨ x, T^{*} y ⟩ .$
因为 $y \in M_{2}^{⊥}$ ，由假设 $T^{*} y \in T^{*} (M_{2}^{⊥}) \subset M_{1}^{⊥}$ ，而 $x \in M_{1}$ ，故 $⟨ x, T^{*} y ⟩ = 0$ 。于是 $⟨ T x, y ⟩ = 0$ ，所以 $T x \in (M_{2}^{⊥})^{⊥} = M_{2}$ 。由 $x$ 的任意性得 $T (M_{1}) \subset M_{2}$ 。

综上所述， $T (M_{1}) \subset M_{2}$ 当且仅当 $T^{*} (M_{2}^{⊥}) \subset M_{1}^{⊥}$ 。

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习题 3.25

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