习题 3.26

设 $H$ 为 Hilbert 空间, $T\in B(H,H),S=I+T{T}^{\ast }$. 求证: $R(S)$ 为 $H$ 的闭线性子空间, $S$ 为单射, 且 $S^{-1}\in B(R(S),H)$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

设 $H$ 为 Hilbert 空间，$T\in \mathcal{B}(H)$，$S=I+T{T}^{\ast }$。以下分三步进行论证。

1. 证明 $\Vert Sx\Vert \ge \Vert x\Vert$ 对一切 $x\in H$ 成立，从而 $S$ 是单射。

对任意 $x\in H$，计算 $$\begin{array}{rl}\Vert Sx{\Vert }^2& =⟨(I+T{T}^{\ast })x,(I+T{T}^{\ast })x⟩\\ & =\Vert x{\Vert }^2+⟨x,T{T}^{\ast }x⟩+⟨T{T}^{\ast }x,x⟩+\Vert T{T}^{\ast }x{\Vert }^2.\end{array}$$ 由于 $T{T}^{\ast }$ 是自伴算子，$⟨T{T}^{\ast }x,x⟩=⟨T^{\ast }x,T^{\ast }x⟩=\Vert T^{\ast }x{\Vert }^2$，且它为实数，故 $⟨x,T{T}^{\ast }x⟩=\overline{⟨T{T}^{\ast }x,x⟩}=\Vert T^{\ast }x{\Vert }^2$。于是 $$\Vert Sx{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+2\Vert T^{\ast }x{\Vert }^2+\Vert T{T}^{\ast }x{\Vert }^2\ge \Vert x{\Vert }^2.$$ 开方得 $\Vert Sx\Vert \ge \Vert x\Vert$。特别地，若 $Sx=0$，则 $\Vert x\Vert \le 0$，从而 $x=0$，故 $S$ 是单射。

2. 证明 $R(S)$ 是 $H$ 的闭线性子空间。

首先，$S$ 为线性算子，故 $R(S)$ 是 $H$ 的线性子空间。下证其闭性。

设 $\{y_n\}\subset R(S)$ 收敛于某 $y\in H$，则存在 $\{x_n\}\subset H$ 使得 $S{x}_n=y_n$。由于 $\{y_n\}$ 是 Cauchy 列，由 $\Vert S{x}_n-S{x}_m\Vert =\Vert y_n-y_m\Vert$ 及 $\Vert S(x_n-x_m)\Vert \ge \Vert x_n-x_m\Vert$ 得 $$\Vert x_n-x_m\Vert \le \Vert y_n-y_m\Vert ,$$ 故 $\{x_n\}$ 也是 Cauchy 列。$H$ 完备，存在 $x\in H$ 使 $x_n\to x$。由 $S$ 的连续性， $$Sx=\underset{n\to \infty }{\lim }S{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=y,$$ 因而 $y\in R(S)$。所以 $R(S)$ 是闭集。

3. 证明 $S^{-1}\in \mathcal{B}(R(S),H)$。

$S$ 为单射，故存在逆算子 $S^{-1}:R(S)\to H$，且对任意 $y\in R(S)$，有唯一的 $x\in H$ 满足 $Sx=y$。由 $\Vert Sx\Vert \ge \Vert x\Vert$ 得 $$\Vert S^{-1}y\Vert =\Vert x\Vert \le \Vert Sx\Vert =\Vert y\Vert ,$$ 即 $S^{-1}$ 是有界线性算子，且 $\Vert S^{-1}\Vert \le 1$。因此 $S^{-1}\in \mathcal{B}(R(S),H)$。

综上，命题得证。