习题 3.27

在 Hilbert 空间 ${\ell }^2$ 上考虑右移算子 $T:{\ell }^2\to {\ell }^2$, 即任取 $n\ge 1$, 有 $$T\left(x_1,x_2,\cdots \right)=\left(0,x_1,x_2,\cdots \right).$$ 求伴随算子 $T^{\ast },D\left(T^{\ast }\right),R\left(T^{\ast }\right)$ 及 $\Vert T^{\ast }\Vert$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

解
在 ${\ell }^2$ 上，右移算子 $T$ 定义为 $$T(x_1,x_2,x_3,\dots )=(0,x_1,x_2,\dots ),$$ 这是一个有界线性算子，且 $\Vert T\Vert =1$。

伴随算子 $T^{\ast }$
对任意 $x,y\in {\ell }^2$，记 $y=(y_1,y_2,\dots )$，计算内积： $$⟨Tx,y⟩=\sum _{n=1}^{\infty }(Tx{)}_n\overline{y_n}=0\cdot \overline{y_1}+\sum _{n=2}^{\infty }{x}_{n-1}\overline{y_n}=\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n\overline{y_{n+1}}.$$ 若定义左移算子 $L$ 为 $Ly=(y_2,y_3,y_4,\dots )$，则 $$⟨Tx,y⟩=⟨x,Ly⟩.$$ 由伴随算子的唯一性，得 $T^{\ast }=L$，即 $$T^{\ast }(y_1,y_2,y_3,\dots )=(y_2,y_3,y_4,\dots ).$$

定义域 $D(T^{\ast })$
由于 $T$ 有界，其伴随 $T^{\ast }$ 的定义域为全空间 ${\ell }^2$，故 $$D(T^{\ast })={\ell }^2.$$

值域 $R(T^{\ast })$
任取 $z=(z_1,z_2,\dots )\in {\ell }^2$，构造 $y=(0,z_1,z_2,\dots )\in {\ell }^2$，则 $$T^{\ast }y=(y_2,y_3,\dots )=(z_1,z_2,\dots )=z,$$ 因此 $z\in R(T^{\ast })$，即 $R(T^{\ast })={\ell }^2$。

范数 $\Vert T^{\ast }\Vert$
一方面，对任意 $y\in {\ell }^2$， $$\Vert T^{\ast }y{\Vert }^2=\sum _{n=2}^{\infty }|y_n{|}^2\le \sum _{n=1}^{\infty }|y_n{|}^2=\Vert y{\Vert }^2,$$ 故 $\Vert T^{\ast }\Vert \le 1$。
另一方面，取 $y=(0,1,0,0,\dots )$，则 $\Vert y\Vert =1$ 且 $$T^{\ast }y=(1,0,0,\dots ),\Vert T^{\ast }y\Vert =1,$$ 所以 $\Vert T^{\ast }\Vert \ge 1$。
综上， $$\Vert T^{\ast }\Vert =1.$$