习题 3.28

设 $H$ 为复 Hilbert 空间, $T\in B(H,H)$ 称为正规算子, 如果 $T^{\ast }T=T{T}^{\ast }$. 求证 $T$ 为正规算子当且仅当任取 $x\in H$, 有 $\Vert Tx\Vert =\Vert T^{\ast }x\Vert$ 成立.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

($\Rightarrow$) 设 $T$ 为正规算子，即 $T^{\ast }T=T{T}^{\ast }$。对任意 $x\in H$，有

$$\Vert Tx{\Vert }^2=⟨Tx,Tx⟩=⟨T^{\ast }Tx,x⟩,$$

$$\Vert T^{\ast }x{\Vert }^2=⟨T^{\ast }x,T^{\ast }x⟩=⟨T{T}^{\ast }x,x⟩.$$

因为 $T^{\ast }T=T{T}^{\ast }$，故 $\Vert Tx{\Vert }^2=\Vert T^{\ast }x{\Vert }^2$，从而 $\Vert Tx\Vert =\Vert T^{\ast }x\Vert$。

($\Leftarrow$) 设对任意 $x\in H$，$\Vert Tx\Vert =\Vert T^{\ast }x\Vert$，则对任意 $x$ 有

$$⟨T^{\ast }Tx,x⟩=\Vert Tx{\Vert }^2=\Vert T^{\ast }x{\Vert }^2=⟨T{T}^{\ast }x,x⟩.$$

于是对任意 $x$，

$$⟨(T^{\ast }T-T{T}^{\ast })x,x⟩=0.$$

注意到 $A=T^{\ast }T-T{T}^{\ast }$ 是自伴算子：因为 $(T^{\ast }T{)}^{\ast }=T^{\ast }T$，$(T{T}^{\ast }{)}^{\ast }=T{T}^{\ast }$，所以 $A^{\ast }=A$。在复 Hilbert 空间中，若自伴算子 $A$ 满足 $⟨Ax,x⟩=0$ 对所有 $x$ 成立，则 $A=0$。下面给出论证：

对任意 $x,y\in H$，考虑极化恒等式

$$\begin{array}{rl}⟨A(x+y),x+y⟩& =⟨Ax,x⟩+⟨Ax,y⟩+⟨Ay,x⟩+⟨Ay,y⟩=0,\\ ⟨A(x+iy),x+iy⟩& =⟨Ax,x⟩+i⟨Ax,y⟩-i⟨Ay,x⟩+⟨Ay,y⟩=0.\end{array}$$

由 $⟨Ax,x⟩=⟨Ay,y⟩=0$ 得

$$⟨Ax,y⟩+⟨Ay,x⟩=0,i(⟨Ax,y⟩-⟨Ay,x⟩)=0,$$

从而 $⟨Ax,y⟩=0$ 对任意 $x,y$ 成立，故 $A=0$。因此 $T^{\ast }T-T{T}^{\ast }=0$，即 $T$ 为正规算子。

综上，命题得证。