习题 3.29

设 $H$ 为复 Hilbert 空间, $T\in B(H)$ 为正规算子. 求证: $$\{x\in H:Tx=x\}=\left\{x\in H:T^{\ast }x=x\right\}.$$

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明： 由于 $T$ 是正规算子，即 $T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$。考虑 $S=T-I$，则 $S^{\ast }=T^{\ast }-I$。容易验证 $S$ 也是正规的： $$\begin{array}{rl}S{S}^{\ast }& =(T-I)(T^{\ast }-I)=T{T}^{\ast }-T-T^{\ast }+I,\\ S^{\ast }S& =(T^{\ast }-I)(T-I)=T^{\ast }T-T^{\ast }-T+I,\end{array}$$ 由 $T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$ 得 $S{S}^{\ast }=S^{\ast }S$。

对于正规算子 $S$，有 $\Vert Sx\Vert =\Vert S^{\ast }x\Vert$ 对所有 $x\in H$ 成立。这是因为 $$\Vert Sx{\Vert }^2=⟨Sx,Sx⟩=⟨S^{\ast }Sx,x⟩=⟨S{S}^{\ast }x,x⟩=⟨S^{\ast }x,S^{\ast }x⟩=\Vert S^{\ast }x{\Vert }^2.$$

于是 $$\Vert (T-I)x\Vert =\Vert (T^{\ast }-I)x\Vert ,\forall x\in H.$$

因此 $(T-I)x=0$ 当且仅当 $(T^{\ast }-I)x=0$，即 $Tx=x$ 当且仅当 $T^{\ast }x=x$。从而 $$\{x\in H:Tx=x\}=\{x\in H:T^{\ast }x=x\}.$$

证毕。