习题 3.8

$H$ 为 Hilbert 空间, $M$ 为 $H$ 的闭线性子空间. 求证: $M$ 为 $H$ 上某个非零有界线性泛函的零空间当且仅当 $M^{\perp }$ 为 $H$ 的一维线性子空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明 设 $H$ 是 Hilbert 空间，$M\subseteq H$ 是闭线性子空间。

充分性：若 $M=\ker f$，其中 $f\in H^{\ast }\setminus \{0\}$，则由 Riesz 表示定理，存在唯一的非零向量 $z\in H$ 使得 $f(x)=⟨x,z⟩$ 对所有 $x\in H$ 成立。于是 $$M=\{x\in H:⟨x,z⟩=0\}=z^{\perp }.$$ 因为 $z\ne 0$，其正交补为 $M^{\perp }=(z^{\perp }{)}^{\perp }=\overline{\mathrm{span}\{z\}}=\mathrm{span}\{z\}$，即一维子空间。

必要性：若 $M^{\perp }$ 是一维子空间，则存在非零向量 $z\in H$ 使得 $M^{\perp }=\mathrm{span}\{z\}$。由于 $M$ 是闭的，由正交分解定理有 $H=M\oplus M^{\perp }$，且 $M=(M^{\perp }{)}^{\perp }$。因此 $$M=(\mathrm{span}\{z\}{)}^{\perp }=z^{\perp }.$$ 定义泛函 $f(x)=⟨x,z⟩$，$f$ 是 $H$ 上的有界线性泛函，且 $f(z)=\Vert z{\Vert }^2\ne 0$，故 $f\ne 0$。而 $$\ker f=\{x\in H:⟨x,z⟩=0\}=z^{\perp }=M.$$ 从而 $M$ 是非零有界线性泛函 $f$ 的零空间。

综上，命题得证。