习题 3.7

设 $X$ 为复内积空间, $T : X \to X$ 为线性算子, 且任取 $x \in X, ⟨ T x, x ⟩ = 0$ . 求证: $T = 0$ .

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明

对任意 $x, y \in X$ ，由条件 $⟨ T z, z ⟩ = 0$ 对所有 $z \in X$ 成立。

利用 $x + y$
$0 = ⟨ T (x + y), x + y ⟩ = ⟨ T x, x ⟩ + ⟨ T x, y ⟩ + ⟨ T y, x ⟩ + ⟨ T y, y ⟩ = ⟨ T x, y ⟩ + ⟨ T y, x ⟩ .$ 故得
$⟨ T x, y ⟩ + ⟨ T y, x ⟩ = 0. (1)$
利用 $x + i y$
$0 = ⟨ T (x + i y), x + i y ⟩ = ⟨ T x, x ⟩ + ⟨ T x, i y ⟩ + ⟨ T (i y), x ⟩ + ⟨ T (i y), i y ⟩ = ⟨ T x, i y ⟩ + ⟨ T (i y), x ⟩ .$ 由内积的性质（第一个变量线性，第二个变量共轭线性）有
$⟨ T x, i y ⟩ = \overline{i} ⟨ T x, y ⟩ = - i ⟨ T x, y ⟩,$ 且 $T (i y) = i T y$ ，故
$⟨ T (i y), x ⟩ = ⟨ i T y, x ⟩ = i ⟨ T y, x ⟩ .$ 代入得
$0 = - i ⟨ T x, y ⟩ + i ⟨ T y, x ⟩,$ 即
$⟨ T y, x ⟩ = ⟨ T x, y ⟩ . (2)$

将 (2) 代入 (1)：
$⟨ T x, y ⟩ + ⟨ T x, y ⟩ = 0 ⟹ 2 ⟨ T x, y ⟩ = 0 ⟹ ⟨ T x, y ⟩ = 0.$

由于 $y \in X$ 是任意的，上式表明 $T x$ 与所有向量正交，从而 $T x = 0$ 。再由 $x$ 的任意性得 $T = 0$ 。∎