习题 3.6

设 $X$ 为内积空间, $x\in X,M\subset X$ 为非空子集, 且 $x\perp M$. 求证: $x\perp \overline{\mathrm{span}(M)}$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：由于 $x\perp M$，即对任意 $y\in M$ 有 $⟨x,y⟩=0$。

首先证明 $x\perp \mathrm{span}(M)$。任取 $v\in \mathrm{span}(M)$，则存在有限个 $y_1,\dots ,y_n\in M$ 和标量 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in \mathbb{K}$（$\mathbb{K}$ 为实数域或复数域）使得 $v={\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i$。由内积在第二个变量上的线性性可得 $$⟨x,v⟩=⟨x,\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i⟩=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i⟨x,y_i⟩=0.$$ 故 $x$ 与 $\mathrm{span}(M)$ 中任意向量正交。

其次证明 $x\perp \overline{\mathrm{span}(M)}$。任取 $z\in \overline{\mathrm{span}(M)}$，则存在序列 $\{z_n\}\subset \mathrm{span}(M)$ 使得 ${\lim }_{n\to \infty }{z}_n=z$。对每个 $n$ 有 $⟨x,z_n⟩=0$。由内积的连续性（或直接由 Cauchy–Schwarz 不等式） $$|⟨x,z_n⟩-⟨x,z⟩|=|⟨x,z_n-z⟩|\le \Vert x\Vert \Vert z_n-z\Vert \to 0(n\to \infty ),$$ 所以 $⟨x,z⟩={\lim }_{n\to \infty }⟨x,z_n⟩=0$。因此 $x\perp z$。

综上，$x\perp \overline{\mathrm{span}(M)}$。