习题 3.5

设 $X$ 为内积空间 $,x,y\in X$. 求证下述命题相互等价:

(1) $x\perp y$;

(2) 任取 $\alpha \in \mathbb{K},\Vert x+\alpha y\Vert \ge \Vert x\Vert$;

(3) 任取 $\alpha \in \mathbb{K},\Vert x+\alpha y\Vert =\Vert x-\alpha y\Vert$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

设 $X$ 为内积空间，内积记为 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$，范数为 $\Vert \cdot \Vert$。对任意 $x,y\in X$，由内积性质可得 $$\begin{array}{rl}\Vert x+\alpha y{\Vert }^2& =\Vert x{\Vert }^2+|\alpha {|}^2\Vert y{\Vert }^2+2\mathrm{Re}(\alpha ⟨y,x⟩),\\ \Vert x-\alpha y{\Vert }^2& =\Vert x{\Vert }^2+|\alpha {|}^2\Vert y{\Vert }^2-2\mathrm{Re}(\alpha ⟨y,x⟩).\end{array}$$

1. $(1)\Rightarrow (2)$ 和 $(1)\Rightarrow (3)$

若 $x\perp y$，则 $⟨x,y⟩=0$，从而 $⟨y,x⟩=0$，代入上式得 $$\Vert x+\alpha y{\Vert }^2=\Vert x-\alpha y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+|\alpha {|}^2\Vert y{\Vert }^2.$$ 因此对任意 $\alpha \in \mathbb{K}$ 有 $\Vert x+\alpha y\Vert \ge \Vert x\Vert$ 且 $\Vert x+\alpha y\Vert =\Vert x-\alpha y\Vert$，即 (2) 和 (3) 成立。

2. $(2)\Rightarrow (1)$

假设对任意 $\alpha \in \mathbb{K}$ 有 $\Vert x+\alpha y\Vert \ge \Vert x\Vert$。若 $y=0$，则 $⟨x,y⟩=0$ 显然成立；下设 $y\ne 0$。由展开式得 $$|\alpha {|}^2\Vert y{\Vert }^2+2\mathrm{Re}(\alpha ⟨y,x⟩)\ge 0,\forall \alpha \in \mathbb{K}.$$ 记 $c=⟨y,x⟩$。若 $c\ne 0$，取 $\alpha =-t\bar{c}$（$t>0$），代入上式得 $$t^2|c{|}^2\Vert y{\Vert }^2-2t|c{|}^2\ge 0⟹|c{|}^2(t^2\Vert y{\Vert }^2-2t)\ge 0.$$ 由于 $|c{|}^2>0$，故 $t^2\Vert y{\Vert }^2-2t\ge 0$ 对所有 $t>0$ 成立。但取 $0<t<2/\Vert y{\Vert }^2$ 时 $t^2\Vert y{\Vert }^2-2t<0$，矛盾。因此 $c=0$，即 $⟨y,x⟩=0$，从而 $⟨x,y⟩=0$，亦即 $x\perp y$。

3. $(3)\Rightarrow (1)$

假设对任意 $\alpha \in \mathbb{K}$ 有 $\Vert x+\alpha y\Vert =\Vert x-\alpha y\Vert$。平方后相减得 $$4\mathrm{Re}(\alpha ⟨y,x⟩)=0,\forall \alpha \in \mathbb{K},$$ 即 $\mathrm{Re}(\alpha ⟨y,x⟩)=0$ 对所有 $\alpha$ 成立。特别地，取 $\alpha =⟨y,x⟩$，则 $$\mathrm{Re}(|⟨y,x⟩{|}^2)=|⟨y,x⟩{|}^2=0,$$ 故 $⟨y,x⟩=0$，从而 $⟨x,y⟩=0$，即 $x\perp y$。

综上，命题 (1)、(2)、(3) 相互等价。