习题 3.4

设 $X$ 为内积空间 $,x_n,x\in X$. 求证: $x_n\to x$ 当且仅当 $\Vert x_n\Vert \to \Vert x\Vert$, 且 $⟨x_n,x⟩\to$ $⟨x,x⟩$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明
（必要性）若 $x_n\to x$，则由范数的连续性有 $\Vert x_n\Vert \to \Vert x\Vert$，由内积的连续性有 $⟨x_n,x⟩\to ⟨x,x⟩$。

（充分性）设 $\Vert x_n\Vert \to \Vert x\Vert$ 且 $⟨x_n,x⟩\to ⟨x,x⟩$。则 $$\begin{array}{rl}\Vert x_n-x{\Vert }^2& =⟨x_n-x,x_n-x⟩\\ & =\Vert x_n{\Vert }^2-⟨x_n,x⟩-⟨x,x_n⟩+\Vert x{\Vert }^2.\end{array}$$ 由于 $⟨x,x_n⟩=\overline{⟨x_n,x⟩}$，且 $⟨x_n,x⟩\to ⟨x,x⟩$，而 $⟨x,x⟩$ 是实数，故 $\overline{⟨x_n,x⟩}\to \overline{⟨x,x⟩}=⟨x,x⟩$。于是 $$\Vert x_n-x{\Vert }^2\to \Vert x{\Vert }^2-⟨x,x⟩-⟨x,x⟩+\Vert x{\Vert }^2=0.$$ 因此 $x_n\to x$。