习题 3.3

若 $X$ 为有限维线性空间, $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}$ 为 $X$ 的 Hamel 基. 求证: $X$ 上的内积由 $${\gamma }_{ij}=⟨e_i,e_j⟩,1\le i,j\le n$$ 唯一确定. 问: 能以完全任意方式选取 ${\gamma }_{ij}$ 吗?

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：设 $X$ 是有限维线性空间，$\dim X=n$，$\{e_1,\dots ,e_n\}$ 是 $X$ 的一组 Hamel 基。对任意 $x,y\in X$，存在唯一坐标 $x={\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{e}_i$，$y={\sum }_{j=1}^n{\beta }_j{e}_j$（${\alpha }_i,{\beta }_j\in \mathbb{F}$，$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）。由内积的线性与共轭线性（实情形为双线性）， $$⟨x,y⟩=⟨\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{e}_i,\sum _{j=1}^n{\beta }_j{e}_j⟩=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i\overline{{\beta }_j}⟨e_i,e_j⟩.$$ 因此，一旦知道所有 ${\gamma }_{ij}=⟨e_i,e_j⟩$，则任意两个向量的内积均可通过上式算出，故 $X$ 上的内积由 ${\gamma }_{ij}$ 唯一确定。

能否任意选取 ${\gamma }_{ij}$？
不能。因为内积必须满足公理，从而 ${\gamma }_{ij}$ 必须满足：

1. 共轭对称性：$⟨e_i,e_j⟩=\overline{⟨e_j,e_i⟩}$，即 ${\gamma }_{ij}=\overline{{\gamma }_{ji}}$；
2. 正定性：对任意不全为零的 $c_1,\dots ,c_n\in \mathbb{F}$，有 $$\sum _{i,j=1}^n{\gamma }_{ij}{c}_i\overline{c_j}>0.$$

换言之，矩阵 $G=({\gamma }_{ij})$ 必须是 Hermitian 正定矩阵（实情形为对称正定矩阵）。
反之，若给定矩阵 $G$ 满足上述条件，则通过 $$⟨x,y⟩=\sum _{i,j=1}^n{\gamma }_{ij}{\alpha }_i\overline{{\beta }_j}$$ 定义的二元函数是 $X$ 上的一个内积，且满足 $⟨e_i,e_j⟩={\gamma }_{ij}$。因此 ${\gamma }_{ij}$ 不能完全任意，必须满足 Hermitian 正定性。