习题 3.2

设 $X$ 为内积空间 $,x,y,z\in X$. 证明 Applonius 恒等式: $$\Vert z-x{\Vert }^2+\Vert z-y{\Vert }^2=\frac{1}{2}\Vert x-y{\Vert }^2+2{\Vert z-\frac{1}{2}(x+y)\Vert }^2.$$

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：设 $X$ 上的内积为 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$，诱导的范数为 $\Vert u\Vert =\sqrt{⟨u,u⟩}$。对任意 $x,y,z\in X$，计算等式的两边。

左边： $$\begin{array}{rl}\Vert z-x{\Vert }^2+\Vert z-y{\Vert }^2& =⟨z-x,z-x⟩+⟨z-y,z-y⟩\\ & =(\Vert z{\Vert }^2-⟨z,x⟩-⟨x,z⟩+\Vert x{\Vert }^2)\\ & +(\Vert z{\Vert }^2-⟨z,y⟩-⟨y,z⟩+\Vert y{\Vert }^2)\\ & =2\Vert z{\Vert }^2+\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2-(⟨z,x⟩+⟨x,z⟩+⟨z,y⟩+⟨y,z⟩).\end{array}$$

右边：令 $w=z-\frac{1}{2}(x+y)$，则 $$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}\Vert x-y{\Vert }^2& =\frac{1}{2}(\Vert x{\Vert }^2-⟨x,y⟩-⟨y,x⟩+\Vert y{\Vert }^2),\\ 2\Vert w{\Vert }^2& =2⟨z-\frac{1}{2}(x+y),z-\frac{1}{2}(x+y)⟩\\ & =2(\Vert z{\Vert }^2-\frac{1}{2}⟨z,x+y⟩-\frac{1}{2}⟨x+y,z⟩+\frac{1}{4}\Vert x+y{\Vert }^2)\\ & =2\Vert z{\Vert }^2-⟨z,x+y⟩-⟨x+y,z⟩+\frac{1}{2}\Vert x+y{\Vert }^2\\ & =2\Vert z{\Vert }^2-(⟨z,x⟩+⟨z,y⟩)-(⟨x,z⟩+⟨y,z⟩)\\ & +\frac{1}{2}(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩).\end{array}$$

将这两部分相加： $$\begin{array}{rl}R& =\frac{1}{2}\Vert x-y{\Vert }^2+2\Vert w{\Vert }^2\\ & =(\frac{1}{2}\Vert x{\Vert }^2+\frac{1}{2}\Vert y{\Vert }^2-\frac{1}{2}⟨x,y⟩-\frac{1}{2}⟨y,x⟩)\\ & +(2\Vert z{\Vert }^2-(⟨z,x⟩+⟨z,y⟩)-(⟨x,z⟩+⟨y,z⟩)\\ & +\frac{1}{2}\Vert x{\Vert }^2+\frac{1}{2}\Vert y{\Vert }^2+\frac{1}{2}⟨x,y⟩+\frac{1}{2}⟨y,x⟩)\\ & =2\Vert z{\Vert }^2+\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2-(⟨z,x⟩+⟨z,y⟩+⟨x,z⟩+⟨y,z⟩).\end{array}$$

比较左边与右边的表达式，两者完全相同，故 $$\Vert z-x{\Vert }^2+\Vert z-y{\Vert }^2=\frac{1}{2}\Vert x-y{\Vert }^2+2{\Vert z-\frac{1}{2}(x+y)\Vert }^2.$$ 恒等式得证。