习题 3.1

设 $X$ 为实内积空间, $x,y\in X$. 求证: $x\perp y$ 当且仅当勾股定理对 $x,y$ 成立, 即 $\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2$. 举例说明若 $X$ 为复内积空间, 则上述结论一般不成立.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明（实内积空间）：

设 $X$ 是实内积空间，$x,y\in X$。

若 $x\perp y$，即 $⟨x,y⟩=0$，则

$$\begin{array}{rl}\Vert x+y{\Vert }^2& =⟨x+y,x+y⟩\\ & =⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩\\ & =\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2,\end{array}$$

因为实内积满足对称性 $⟨y,x⟩=⟨x,y⟩=0$。故勾股定理成立。

反之，若 $\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2$，则由展开得

$$\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2+2⟨x,y⟩=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2,$$

从而 $2⟨x,y⟩=0$，即 $⟨x,y⟩=0$，因此 $x\perp y$。

综上，在实内积空间中，$x\perp y$ 当且仅当 $\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2$。

复内积空间中的反例：

考虑 $X=\mathbb{C}$，赋予标准内积 $⟨a,b⟩=a\overline{b}$。取 $x=1$, $y=i$。

计算内积：$⟨x,y⟩=1\cdot \overline{i}=1\cdot (-i)=-i\ne 0$，故 $x$ 与 $y$ 不正交。

计算范数：$\Vert x{\Vert }^2=|1{|}^2=1$，$\Vert y{\Vert }^2=|i{|}^2=1$，$\Vert x+y{\Vert }^2=|1+i{|}^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$。

因此 $\Vert x+y{\Vert }^2=2=1+1=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2$，勾股定理成立。

这表明在复内积空间中，即使勾股定理成立，也不能推出 $x\perp y$，故结论一般不成立。