习题 2.9

设 $X$ 为赋范空间 $,x_n,y_n,x,y\in X,{\alpha }_n,\alpha \in \mathbb{K}$. 若 $x_n\to x,y_n\to y,{\alpha }_n\to \alpha$, 求证 : $x_n+y_n$ $\to x+y,{\alpha }_n{x}_n\to \alpha x$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明

加法收敛性：
因 $x_n\to x$，对任意 $\epsilon >0$，存在 $N_1\in \mathbb{N}$ 使当 $n\ge N_1$ 时 $\Vert x_n-x\Vert <\epsilon /2$。
因 $y_n\to y$，存在 $N_2\in \mathbb{N}$ 使当 $n\ge N_2$ 时 $\Vert y_n-y\Vert <\epsilon /2$。
取 $N=\max \{N_1,N_2\}$，则当 $n\ge N$ 时有

$$\Vert (x_n+y_n)-(x+y)\Vert =\Vert (x_n-x)+(y_n-y)\Vert \le \Vert x_n-x\Vert +\Vert y_n-y\Vert <\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon ,$$

故 $x_n+y_n\to x+y$。

数乘收敛性：
由 ${\alpha }_n\to \alpha$ 知 $\{{\alpha }_n\}$ 有界，即存在 $M>0$ 使 $|{\alpha }_n|\le M$ 对所有 $n$ 成立。

对任意 $\epsilon >0$：

• 因 $x_n\to x$，存在 $N_1$ 使当 $n\ge N_1$ 时 $\Vert x_n-x\Vert <\frac{\epsilon }{2(M+1)}$；
• 因 ${\alpha }_n\to \alpha$，存在 $N_2$ 使当 $n\ge N_2$ 时 $|{\alpha }_n-\alpha |<\frac{\epsilon }{2(\Vert x\Vert +1)}$。

取 $N=\max \{N_1,N_2\}$，则当 $n\ge N$ 时，有

$$\begin{array}{rl}\Vert {\alpha }_n{x}_n-\alpha x\Vert & =\Vert {\alpha }_n(x_n-x)+({\alpha }_n-\alpha )x\Vert \\ & \le |{\alpha }_n|\Vert x_n-x\Vert +|{\alpha }_n-\alpha |\Vert x\Vert \\ & <M\cdot \frac{\epsilon }{2(M+1)}+\frac{\epsilon }{2(\Vert x\Vert +1)}\cdot \Vert x\Vert \\ & <\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .\end{array}$$

（当 $x=0$ 时第二项为 $0$，不等式依然成立。）

因此 ${\alpha }_n{x}_n\to \alpha x$。

证毕。