习题 2.10

设 $X$ 为赋范空间, $Y$ 为 $X$ 的线性子空间, 求证: $\bar{Y}$ 仍为 $X$ 的线性子空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明： 设 $X$ 是一个赋范空间，$Y\subset X$ 是线性子空间。记 $\bar{Y}$ 为 $Y$ 在 $X$ 中的闭包。欲证 $\bar{Y}$ 是 $X$ 的线性子空间，即验证：

1. $\bar{Y}\ne \varnothing$（显然，因为 $0\in Y\subset \bar{Y}$）；
2. 对任意的 $x,y\in \bar{Y}$ 和任意标量 $\alpha ,\beta$（实数或复数），有 $\alpha x+\beta y\in \bar{Y}$。

由于 $x,y\in \bar{Y}$，存在序列 $\{x_n\},\{y_n\}\subset Y$ 使得
$$x_n\to x,y_n\to y(n\to \infty ).$$ 因为 $Y$ 是线性子空间，对每个 $n$，$\alpha x_n+\beta y_n\in Y$。由赋范空间中加法和数乘的连续性（或直接估计）可得
$$\begin{array}{rl}\Vert \alpha x_n+\beta y_n-(\alpha x+\beta y)\Vert & \le |\alpha |\Vert x_n-x\Vert +|\beta |\Vert y_n-y\Vert \to 0,\end{array}$$ 当 $n\to \infty$ 时。因此 $\alpha x_n+\beta y_n\to \alpha x+\beta y$，故 $\alpha x+\beta y$ 是 $Y$ 中序列的极限，从而属于 $\bar{Y}$。

这就证明了 $\bar{Y}$ 对线性运算封闭，所以 $\bar{Y}$ 是 $X$ 的线性子空间。$\square$