习题 2.11

设 $\left(X,\Vert \cdot {\Vert }_X\right)$ 和 $\left(Y,\Vert \cdot {\Vert }_Y\right)$ 为赋范空间, 设 $Z=X\times Y$ 为 $X$ 与 $Y$ 的笛卡儿乘积, 在 $Z$ 上定义 $$\Vert (x,y){\Vert }_{\infty }=\max \left\{\Vert x{\Vert }_X,\Vert y{\Vert }_Y\right\},x\in X,y\in Y.$$ 求证:

(1)上面定义的 $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ 为 $Z$ 上的范数;

(2) $X$ 和 $Y$ 为 Banach 空间当且仅当 $Z$ 为 Banach 空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明. (1) 验证 $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ 满足范数的三条公理.

• 正定性: 对任意 $(x,y)\in Z$, 由定义 $\Vert (x,y){\Vert }_{\infty }=\max \{\Vert x{\Vert }_X,\Vert y{\Vert }_Y\}\ge 0$. 若 $(x,y)=(0,0)$, 则 $\Vert x{\Vert }_X=0,\Vert y{\Vert }_Y=0$, 故 $\Vert (0,0){\Vert }_{\infty }=0$; 反之若 $\Vert (x,y){\Vert }_{\infty }=0$, 则 $\max \{\Vert x{\Vert }_X,\Vert y{\Vert }_Y\}=0$, 从而 $\Vert x{\Vert }_X=0$ 且 $\Vert y{\Vert }_Y=0$, 于是 $x=0,y=0$, 即 $(x,y)=(0,0)$.

• 齐次性: 对任意标量 $\alpha$, $$\Vert \alpha (x,y){\Vert }_{\infty }=\Vert (\alpha x,\alpha y){\Vert }_{\infty }=\max \{\Vert \alpha x{\Vert }_X,\Vert \alpha y{\Vert }_Y\}=\max \{|\alpha |\Vert x{\Vert }_X,|\alpha |\Vert y{\Vert }_Y\}=|\alpha |\max \{\Vert x{\Vert }_X,\Vert y{\Vert }_Y\}=|\alpha |\Vert (x,y){\Vert }_{\infty }.$$

• 三角不等式: 对任意 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in Z$, 记 $A_1=\Vert x_1{\Vert }_X,B_1=\Vert y_1{\Vert }_Y$, $A_2=\Vert x_2{\Vert }_X,B_2=\Vert y_2{\Vert }_Y$. 由 $X,Y$ 中的三角不等式, $$\Vert x_1+x_2{\Vert }_X\le A_1+A_2,\Vert y_1+y_2{\Vert }_Y\le B_1+B_2.$$ 于是 $$\Vert (x_1+x_2,y_1+y_2){\Vert }_{\infty }=\max \{\Vert x_1+x_2{\Vert }_X,\Vert y_1+y_2{\Vert }_Y\}\le \max \{A_1+A_2,B_1+B_2\}.$$ 注意到 $A_1\le \max \{A_1,B_1\},A_2\le \max \{A_2,B_2\}$, 所以 $A_1+A_2\le \max \{A_1,B_1\}+\max \{A_2,B_2\}$; 同理 $B_1+B_2\le \max \{A_1,B_1\}+\max \{A_2,B_2\}$. 因此 $$\max \{A_1+A_2,B_1+B_2\}\le \max \{A_1,B_1\}+\max \{A_2,B_2\}=\Vert (x_1,y_1){\Vert }_{\infty }+\Vert (x_2,y_2){\Vert }_{\infty }.$$ 从而三角不等式成立.

综上, $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ 是 $Z$ 上的范数.

(2) 证明 $X$ 和 $Y$ 均为 Banach 空间 $⟺$ $Z$ 为 Banach 空间.

• 必要性 ($\Rightarrow$): 设 $X$ 和 $Y$ 完备. 取 $Z$ 中的 Cauchy 序列 $\{(x_n,y_n)\}$. 对任意 $\epsilon >0$, 存在 $N$, 当 $m,n\ge N$ 时, $$\Vert (x_n,y_n)-(x_m,y_m){\Vert }_{\infty }=\max \{\Vert x_n-x_m{\Vert }_X,\Vert y_n-y_m{\Vert }_Y\}<\epsilon ,$$ 从而 $\Vert x_n-x_m{\Vert }_X<\epsilon$ 且 $\Vert y_n-y_m{\Vert }_Y<\epsilon$. 故 $\{x_n\}$ 是 $X$ 中的 Cauchy 列, $\{y_n\}$ 是 $Y$ 中的 Cauchy 列. 由完备性, 存在 $x\in X,y\in Y$ 使得 $x_n\to x$, $y_n\to y$. 于是 $$\Vert (x_n,y_n)-(x,y){\Vert }_{\infty }=\max \{\Vert x_n-x{\Vert }_X,\Vert y_n-y{\Vert }_Y\}\to 0(n\to \infty ),$$ 即 $(x_n,y_n)\to (x,y)$ 于 $Z$, 故 $Z$ 完备, 为 Banach 空间.

• 充分性 ($\Leftarrow$): 设 $Z$ 完备. 先证 $X$ 完备. 取 $X$ 中的 Cauchy 序列 $\{x_n\}$. 考虑 $Z$ 中的序列 $\{(x_n,0)\}$. 对任意 $\epsilon >0$, 由 $\{x_n\}$ 的 Cauchy 性, 存在 $N$, 当 $m,n\ge N$ 时 $\Vert x_n-x_m{\Vert }_X<\epsilon$, 于是 $$\Vert (x_n,0)-(x_m,0){\Vert }_{\infty }=\max \{\Vert x_n-x_m{\Vert }_X,0\}=\Vert x_n-x_m{\Vert }_X<\epsilon ,$$ 故 $\{(x_n,0)\}$ 是 $Z$ 中的 Cauchy 列. 由 $Z$ 完备, 存在 $(x,y)\in Z$ 使得 $(x_n,0)\to (x,y)$. 这意味着 $$\Vert (x_n,0)-(x,y){\Vert }_{\infty }=\max \{\Vert x_n-x{\Vert }_X,\Vert y{\Vert }_Y\}\to 0,$$ 从而 $\Vert x_n-x{\Vert }_X\to 0$ 且 $\Vert y{\Vert }_Y\to 0$, 故 $y=0$, $x_n\to x$ 于 $X$. 所以 $X$ 完备. 类似地, 考虑序列 $\{(0,y_n)\}$ 可证 $Y$ 完备.

综上所述, (2) 得证. $\square$