习题 2.12

设 $\left(X,\Vert \cdot {\Vert }_X\right)$ 和 $\left(Y,\Vert \cdot {\Vert }_Y\right)$ 为赋范空间, 设 $Z=XXY$ 为 $X$ 与 $Y$ 的笛卡儿乘积, 若 $1\le p<\infty$, 在 $Z$ 上定义 $$\Vert (x,y){\Vert }_p={\left(\Vert x{\Vert }_X^p+\Vert y{\Vert }_Y^p\right)}^{1/p},x\in X,y\in Y.$$ 求证:

(1) 上面定义的 $\Vert \cdot {\Vert }_p$ 为 $Z$ 上的范数;

(2) 若 $1\le p,q<\infty$, 则 $\Vert \cdot {\Vert }_p$ 与 $\Vert \cdot {\Vert }_q$ 为等价范数, 且均与上题定义的范数 $\Vert$ - $\Vert \infty$ 等价.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

解答

(1) 证明 $\Vert \cdot {\Vert }_p$ 是 $Z$ 上的范数。

设 $(x,y)\in Z$，定义 $$\Vert (x,y){\Vert }_p=(\Vert x{\Vert }_X^p+\Vert y{\Vert }_Y^p{)}^{1/p},1\le p<\infty .$$

需要验证范数的三条公理：

• 非负性：显然 $\Vert (x,y){\Vert }_p\ge 0$。

• 正定性：若 $\Vert (x,y){\Vert }_p=0$，则 $\Vert x{\Vert }_X^p+\Vert y{\Vert }_Y^p=0$，故 $\Vert x{\Vert }_X=\Vert y{\Vert }_Y=0$，从而 $x=0$, $y=0$；反之，若 $(x,y)=0$，则 $\Vert (0,0){\Vert }_p=0$。

• 齐次性：对任意标量 $\alpha$， $$\Vert \alpha (x,y){\Vert }_p=\Vert (\alpha x,\alpha y){\Vert }_p=(\Vert \alpha x{\Vert }_X^p+\Vert \alpha y{\Vert }_Y^p{)}^{1/p}=(|\alpha {|}^p\Vert x{\Vert }_X^p+|\alpha {|}^p\Vert y{\Vert }_Y^p{)}^{1/p}=|\alpha |\Vert (x,y){\Vert }_p.$$

• 三角不等式：任取 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in Z$，记 $$u_1=\Vert x_1{\Vert }_X,v_1=\Vert y_1{\Vert }_Y,u_2=\Vert x_2{\Vert }_X,v_2=\Vert y_2{\Vert }_Y.$$ 由 $X,Y$ 中范数的三角不等式， $$\Vert x_1+x_2{\Vert }_X\le u_1+u_2,\Vert y_1+y_2{\Vert }_Y\le v_1+v_2.$$ 于是 $$\begin{array}{rl}\Vert (x_1+x_2,y_1+y_2){\Vert }_p& =(\Vert x_1+x_2{\Vert }_X^p+\Vert y_1+y_2{\Vert }_Y^p{)}^{1/p}\\ & \le ((u_1+u_2{)}^p+(v_1+v_2{)}^p{)}^{1/p}.\end{array}$$ 对非负实数 $u_1,u_2,v_1,v_2$，应用 ${\mathbb{R}}^2$ 上的 Minkowski 不等式（$p\ge 1$）可得 $$((u_1+u_2{)}^p+(v_1+v_2{)}^p{)}^{1/p}\le (u_1^p+v_1^p{)}^{1/p}+(u_2^p+v_2^p{)}^{1/p}.$$ 因此 $$\Vert (x_1+x_2,y_1+y_2){\Vert }_p\le \Vert (x_1,y_1){\Vert }_p+\Vert (x_2,y_2){\Vert }_p,$$ 即三角不等式成立。

综上，$\Vert \cdot {\Vert }_p$ 是 $Z$ 上的范数。

(2) 证明范数等价性。

首先，由上题（或通常定义）记 $$\Vert (x,y){\Vert }_{\infty }=\max (\Vert x{\Vert }_X,\Vert y{\Vert }_Y).$$

步骤 1：$\Vert \cdot {\Vert }_p$ 与 $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ 等价。
设 $a=\Vert x{\Vert }_X$, $b=\Vert y{\Vert }_Y$，则 $$\Vert (x,y){\Vert }_{\infty }=\max (a,b).$$ 显然 $$\max (a,b{)}^p\le a^p+b^p\le 2\max (a,b{)}^p,$$ 两边开 $1/p$ 次方即得 $$\max (a,b)\le (a^p+b^p{)}^{1/p}\le 2^{1/p}\max (a,b).$$ 故 $$\Vert (x,y){\Vert }_{\infty }\le \Vert (x,y){\Vert }_p\le 2^{1/p}\Vert (x,y){\Vert }_{\infty }.\text{\hspace{1em}(1)}$$ 因此 $\Vert \cdot {\Vert }_p$ 与 $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ 等价。

步骤 2：对任意 $1\le p,q<\infty$，$\Vert \cdot {\Vert }_p$ 与 $\Vert \cdot {\Vert }_q$ 等价。
由 (1) 知 $\Vert \cdot {\Vert }_p$ 和 $\Vert \cdot {\Vert }_q$ 均与 $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ 等价，而等价关系具有传递性，故 $\Vert \cdot {\Vert }_p$ 与 $\Vert \cdot {\Vert }_q$ 等价。

亦可直接给出显式不等式。利用有限维空间 ${\mathbb{R}}^2$ 上 $p$-范数的经典比较关系：对 $0<r<s$，有 $$\Vert (a,b){\Vert }_s\le \Vert (a,b){\Vert }_r\le 2^{1/r-1/s}\Vert (a,b){\Vert }_s.$$ 应用于 $a=\Vert x{\Vert }_X$, $b=\Vert y{\Vert }_Y$，若 $p\le q$，则 $$\Vert (x,y){\Vert }_q\le \Vert (x,y){\Vert }_p\le 2^{1/p-1/q}\Vert (x,y){\Vert }_q;$$ 若 $p\ge q$，则 $$\Vert (x,y){\Vert }_p\le \Vert (x,y){\Vert }_q\le 2^{1/q-1/p}\Vert (x,y){\Vert }_p.$$ 因此总存在正常数 $c,C$（依赖于 $p,q$）使得 $$c\Vert (x,y){\Vert }_p\le \Vert (x,y){\Vert }_q\le C\Vert (x,y){\Vert }_p,$$ 即两范数等价。

综上，结论得证。