习题 2.13

设 $C_0(\mathbb{R})$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 上, 满足 ${\lim }_{|t|\to \infty }|x(t)|=0$ 的连续函数全体, 令 $$\Vert x{\Vert }_{\infty }=\underset{t\in \mathbb{R}}{\max }|x(t)|,x\in C_0(\mathbb{R}).$$ 求证: $\Vert {\Vert }_{\infty }$ 为 $C_0(\mathbb{R})$ 上的范数, 且 $\left(C_0(\mathbb{R}),\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }\right)$ 为 Banach 空间.

解答

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证明

1. $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ 是 $C_0(\mathbb{R})$ 上的范数

首先，$C_0(\mathbb{R})$ 是线性空间：若 $x,y\in C_0(\mathbb{R})$，$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$（或 $\mathbb{C}$），则 $\alpha x+\beta y$ 连续，且
$$\underset{|t|\to \infty }{\lim }|\alpha x(t)+\beta y(t)|\le |\alpha |\underset{|t|\to \infty }{\lim }|x(t)|+|\beta |\underset{|t|\to \infty }{\lim }|y(t)|=0,$$
故 $\alpha x+\beta y\in C_0(\mathbb{R})$。

其次，验证 $\Vert x{\Vert }_{\infty }={\max }_{t\in \mathbb{R}}|x(t)|$ 是良定义的。对 $x\in C_0(\mathbb{R})$，由 ${\lim }_{|t|\to \infty }|x(t)|=0$ 知存在 $R>0$ 使当 $|t|>R$ 时 $|x(t)|\le 1$。在紧集 $[-R,R]$ 上连续函数 $|x|$ 必达到最大值 $M$。若 $M=0$ 则 $x\equiv 0$，显然最大值存在。若 $M>0$，则因外部 $|x(t)|\le M/2$（取 $R$ 足够大使 $|t|>R$ 时 $|x(t)|\le M/2$），可知整体上确界 $M$ 必在 $[-R,R]$ 内达到，故最大值存在且有限。因此定义合理。

现验证范数公理：

• 正定性：$\Vert x{\Vert }_{\infty }\ge 0$ 显然；若 $\Vert x{\Vert }_{\infty }=0$，则 $|x(t)|=0$ 对所有 $t$，即 $x=0$；反之 $x=0$ 时 $\Vert x{\Vert }_{\infty }=0$。
• 齐次性：对任意标量 $\alpha$，
  $$\Vert \alpha x{\Vert }_{\infty }=\underset{t}{\max }|\alpha x(t)|=|\alpha |\underset{t}{\max }|x(t)|=|\alpha |\Vert x{\Vert }_{\infty }.$$
• 三角不等式：
  $$\Vert x+y{\Vert }_{\infty }=\underset{t}{\max }|x(t)+y(t)|\le \underset{t}{\max }(|x(t)|+|y(t)|)\le \underset{t}{\max }|x(t)|+\underset{t}{\max }|y(t)|=\Vert x{\Vert }_{\infty }+\Vert y{\Vert }_{\infty }.$$

故 $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ 是 $C_0(\mathbb{R})$ 上的范数。

2. $(C_0(\mathbb{R}),\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$ 是 Banach 空间

设 $\{x_n\}\subset C_0(\mathbb{R})$ 是 Cauchy 列，即对任意 $\epsilon >0$，存在 $N$ 使得当 $m,n\ge N$ 时
$$\Vert x_n-x_m{\Vert }_{\infty }=\underset{t\in \mathbb{R}}{\sup }|x_n(t)-x_m(t)|<\epsilon .$$ 则对每个固定的 $t\in \mathbb{R}$，数列 $\{x_n(t)\}$ 是 Cauchy 数列，由 $\mathbb{R}$（或 $\mathbb{C}$）的完备性，存在极限 $x(t)$。由一致 Cauchy 条件可得一致收敛：对上述 $\epsilon$，当 $n\ge N$ 时，
$$|x_n(t)-x(t)|=\underset{m\to \infty }{\lim }|x_n(t)-x_m(t)|\le \epsilon ,\forall t,$$ 故 $\Vert x_n-x{\Vert }_{\infty }\le \epsilon$，即 $x_n$ 一致收敛于 $x$。

一致收敛保持连续性，所以 $x$ 是连续函数。还需证明 $x\in C_0(\mathbb{R})$，即 ${\lim }_{|t|\to \infty }|x(t)|=0$。给定 $\epsilon >0$，取 $N$ 使 $\Vert x_N-x{\Vert }_{\infty }<\epsilon /2$。因 $x_N\in C_0(\mathbb{R})$，存在 $M>0$ 使得当 $|t|>M$ 时 $|x_N(t)|<\epsilon /2$。于是当 $|t|>M$ 时，
$$|x(t)|\le |x(t)-x_N(t)|+|x_N(t)|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$$ 故 ${\lim }_{|t|\to \infty }|x(t)|=0$，因此 $x\in C_0(\mathbb{R})$。

综上，$C_0(\mathbb{R})$ 中任意 Cauchy 列都收敛到 $C_0(\mathbb{R})$ 中的一个元素，所以空间是完备的，即 Banach 空间。