习题 2.14

求证 $C[0,1]$ 上的 $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ 和 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 不为等价范数.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明 考虑连续函数空间 $C[0,1]$ 上的范数
$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{x\in [0,1]}{\sup }|f(x)|,\Vert f{\Vert }_1={\int }_0^1|f(x)|dx.$$

首先，对任意 $f\in C[0,1]$ 有 $$\Vert f{\Vert }_1={\int }_0^1|f(x)|dx\le {\int }_0^1\Vert f{\Vert }_{\infty }dx=\Vert f{\Vert }_{\infty },$$ 即存在常数 $C=1$ 使 $\Vert f{\Vert }_1\le C\Vert f{\Vert }_{\infty }$ 总成立。

若 $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ 与 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 等价，则也存在常数 $c>0$ 使得 $$c\Vert f{\Vert }_{\infty }\le \Vert f{\Vert }_1\forall f\in C[0,1].$$ 下面构造一列函数 $\{f_n\}\subset C[0,1]$ 导出矛盾。

对每个 $n\in \mathbb{N}$，定义 $$f_n(x)=\{\begin{array}{ll}1-nx,& 0\le x\le \frac{1}{n},\\ 0,& \frac{1}{n}<x\le 1.\end{array}$$ $f_n$ 是连续的，且 $\Vert f_n{\Vert }_{\infty }=f_n(0)=1$。计算其 $L^1$ 范数： $$\Vert f_n{\Vert }_1={\int }_0^{1/n}(1-nx)dx=[x-\frac{n}{2}{x}^2{]}_0^{1/n}=\frac{1}{n}-\frac{n}{2}\cdot \frac{1}{n^2}=\frac{1}{2n}.$$ 于是 $\Vert f_n{\Vert }_1\to 0$ 当 $n\to \infty$。

若存在所述 $c>0$，则应有 $$c=c\Vert f_n{\Vert }_{\infty }\le \Vert f_n{\Vert }_1=\frac{1}{2n}\forall n,$$ 令 $n\to \infty$ 得 $c\le 0$，与 $c>0$ 矛盾。故这样的 $c$ 不存在，从而两个范数不等价。$\square$