习题 2.15

设 $M$ 为空间 ${\ell }^{\infty }$ 中除有限个坐标之外均为 0 的元素全体构成的子空间, 求证: $M$ 为 $\ell$ ${}^{\infty }$ 的线性子空间, 但 $M$ 不为 Banach 空间. 给出 $M$ 的一个完备化.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明

1. $M$ 是 ${\ell }^{\infty }$ 的线性子空间

记 ${\ell }^{\infty }$ 为所有有界实（或复）数列构成的 Banach 空间，范数为 $\Vert x{\Vert }_{\infty }={\sup }_{n\in \mathbb{N}}|x_n|$.
定义
$$M=\{x\in {\ell }^{\infty }:\text{存在 }N\in \mathbb{N},\forall n>N,x_n=0\},$$ 即仅有有限个坐标非零的序列全体.

• 零元：零序列 $0=(0,0,\dots )$ 显然属于 $M$.
• 加法封闭：设 $x,y\in M$，则存在 $N_1,N_2$ 使得当 $n>N_1$ 时 $x_n=0$，当 $n>N_2$ 时 $y_n=0$. 取 $N=\max \{N_1,N_2\}$，则当 $n>N$ 时 $(x+y{)}_n=x_n+y_n=0$，故 $x+y\in M$.
• 数乘封闭：设 $x\in M$，$\alpha \in \mathbb{R}$（或 $\mathbb{C}$），则存在 $N$ 使得 $n>N$ 时 $x_n=0$，从而 $(\alpha x{)}_n=\alpha x_n=0$，故 $\alpha x\in M$.

因此 $M$ 是 ${\ell }^{\infty }$ 的线性子空间，且赋予 ${\ell }^{\infty }$ 范数后成为一个赋范空间.

2. $M$ 不是 Banach 空间

需证 $M$ 在范数 $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ 下不完备. 构造 $M$ 中的一个 Cauchy 序列，使其极限不在 $M$ 中.

取
$$x^{(k)}=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots ,\frac{1}{k},0,0,\dots ),k=1,2,\dots$$ 显然每个 $x^{(k)}\in M$. 对于 $m>n$，
$$\Vert x^{(m)}-x^{(n)}{\Vert }_{\infty }=\underset{k>n}{\sup }\frac{1}{k}=\frac{1}{n+1}\to 0(n\to \infty ),$$ 故 $\{x^{(k)}\}$ 是 $M$ 中的 Cauchy 列.

假设存在 $x\in M$ 使得 $\Vert x^{(k)}-x{\Vert }_{\infty }\to 0$. 由于 ${\ell }^{\infty }$ 是完备的，该 Cauchy 列在 ${\ell }^{\infty }$ 中有极限，且极限必为逐点极限. 对每个固定的 $j\in \mathbb{N}$，当 $k\ge j$ 时 $x_j^{(k)}=1/j$，从而
$$x_j=\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_j^{(k)}=\frac{1}{j}.$$ 于是 $x=(1,1/2,1/3,\dots )$. 但 $x$ 有无限多个非零项，故 $x\notin M$，矛盾. 因此 $M$ 中的 Cauchy 列 $\{x^{(k)}\}$ 在 $M$ 中无极限，从而 $M$ 不完备，不是 Banach 空间.

3. $M$ 的一个完备化

考虑空间
$$c_0=\{x\in {\ell }^{\infty }:\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0\},$$ 仍赋予范数 $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$. 则 $c_0$ 是 ${\ell }^{\infty }$ 的闭子空间（易证收敛到零的序列的极限仍属于 $c_0$），而 ${\ell }^{\infty }$ 完备，故 $c_0$ 是 Banach 空间.

$M$ 在 $c_0$ 中稠密：任取 $x\in c_0$，对每个 $k\in \mathbb{N}$ 定义 $x^{(k)}\in M$ 为 $x$ 的前 $k$ 项截断：
$$x_n^{(k)}=\{\begin{array}{ll}{x}_n,& n\le k,\\ 0,& n>k.\end{array}$$ 由于 $x\in c_0$，对任意 $\epsilon >0$ 存在 $N$ 使得当 $n>N$ 时 $|x_n|<\epsilon$. 取 $k>N$，则
$$\Vert x-x^{(k)}{\Vert }_{\infty }=\underset{n>k}{\sup }|x_n|\le \underset{n>N}{\sup }|x_n|<\epsilon ,$$ 故 ${\lim }_{k\to \infty }{x}^{(k)}=x$ 在 $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ 下. 因此 $M$ 在 $c_0$ 中稠密.

反之，若 $x\in {\ell }^{\infty }$ 且能被 $M$ 中的序列逼近，则必有 $x\in c_0$（证明与上述完备性讨论类似）. 故 $c_0$ 就是 $M$ 在 ${\ell }^{\infty }$ 中的闭包.

由于 $c_0$ 是完备的且 $M$ 在其中稠密，依完备化的定义，$c_0$ 构成 $M$ 的一个完备化.

（注：完备化在等距同构意义下唯一，这里给出的 $c_0$ 正是 $M$ 的完备化.）