习题 2.8

设 $X$ 为赋范空间, $M$ 为 $X$ 的凸子集, 且 $M^{\circ }\ne \varnothing$. 求证: $M^{\circ }$ 为凸集, 且 $$\overline{M^{\circ }}=\bar{M}.$$

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明 (1) $M^{\circ }$ 是凸集.

任取 $x,y\in M^{\circ }$, 则存在 $r>0$ 使得 $B(x,r)\subset M$, $B(y,r)\subset M$ (取公共的 $r$). 对任意 $t\in [0,1]$, 令 $z=tx+(1-t)y$. 要证 $z\in M^{\circ }$. 对任意 $v\in X$ 满足 $\Vert v\Vert <r$, 有 $x+v\in B(x,r)\subset M$, $y+v\in B(y,r)\subset M$. 由 $M$ 的凸性, $$z+v=t(x+v)+(1-t)(y+v)\in M.$$ 故 $B(z,r)\subset M$, 即 $z$ 为 $M$ 的内点. 因此 $M^{\circ }$ 是凸集.

(2) 证明 $\overline{M^{\circ }}=\overline{M}$.

显然 $M^{\circ }\subset M$ 蕴含 $\overline{M^{\circ }}\subset \overline{M}$. 下证 $\overline{M}\subset \overline{M^{\circ }}$.

因 $M^{\circ }\ne \varnothing$, 取定 $x_0\in M^{\circ }$. 任取 $x\in \overline{M}$, 则存在序列 $\{y_n\}\subset M$ 使得 $y_n\to x$. 定义 $$z_n=(1-\frac{1}{n})y_n+\frac{1}{n}{x}_0,n\in \mathbb{N}.$$ 先证每个 $z_n$ 属于 $M^{\circ }$. 利用如下引理：

引理 设 $M$ 为凸集, $x_0\in M^{\circ }$, $y\in M$. 则对任意 $\lambda \in [0,1)$, 点 $w=(1-\lambda )x_0+\lambda y$ 属于 $M^{\circ }$.

引理证明 由 $x_0\in M^{\circ }$, 存在 $r>0$ 使得 $B(x_0,r)\subset M$. 取 $\delta =(1-\lambda )r>0$. 任取 $u\in B(w,\delta )$, 即 $\Vert u\Vert <\delta$. 令 $u^{\prime }=u/(1-\lambda )$, 则 $\Vert u^{\prime }\Vert =\Vert u\Vert /(1-\lambda )<r$, 故 $x_0+u^{\prime }\in B(x_0,r)\subset M$. 于是 $$w+u=(1-\lambda )x_0+\lambda y+u=(1-\lambda )(x_0+u/(1-\lambda ))+\lambda y\in M,$$ 所以 $B(w,\delta )\subset M$, 即 $w\in M^{\circ }$.

应用引理, 取 $\lambda =1-1/n\in [0,1)$, 则 $z_n=(1-\lambda )x_0+\lambda y_n$ 满足 $z_n\in M^{\circ }$. 因此 $\{z_n\}\subset M^{\circ }$.

再证 $z_n\to x$. 因为 $$z_n=y_n+\frac{1}{n}(x_0-y_n),$$ 而 $y_n\to x$ 推出 $\{y_n\}$ 有界, 故 $\Vert z_n-y_n\Vert \le \frac{1}{n}(\Vert x_0\Vert +\Vert y_n\Vert )\to 0$, 从而 $z_n\to x$. 因此 $x\in \overline{M^{\circ }}$.

综上, $\overline{M^{\circ }}=\overline{M}$. $\square$