习题 2.7

设 $X$ 为赋范空间, 求证:

(1) 任给 $A,B\subset X,\bar{A}+\bar{B}\subset \overline{A+B}$;

(2)若 $x_0\in X$ 为定点, 则 $A\subset X$ 为开集当且仅当 $x_0+A$ 为开集;

(3)若 $x_0\in X$ 为定点, 则 $A\subset X$ 为闭集当且仅当 $x_0+A$ 为闭集;

(4) 若 $A\subset X,B\subset X$ 中至少有一个为开集, 则 $A+B$ 也为开集;

(5) 若 $A^{\circ }\ne \varnothing$, 则 0 为 $A-A=\{x-y:x,y\in A\}$ 的内点.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

(1) 证明：设 $x\in \overline{A}+\overline{B}$，则存在 $a\in \overline{A}$，$b\in \overline{B}$ 使得 $x=a+b$。由闭包定义，存在序列 $\{a_n\}\subset A$，$\{b_n\}\subset B$ 满足 $a_n\to a$，$b_n\to b$。令 $x_n=a_n+b_n\in A+B$，则
$$\Vert x_n-x\Vert \le \Vert a_n-a\Vert +\Vert b_n-b\Vert \to 0,$$
故 $x_n\to x$，因此 $x\in \overline{A+B}$。所以 $\overline{A}+\overline{B}\subset \overline{A+B}$。

(2) 证明：定义平移映射 $T_{x_0}(x)=x_0+x$，它是等距同胚（因为 $\Vert T_{x_0}(x)-T_{x_0}(y)\Vert =\Vert x-y\Vert$，且逆为 $T_{-x_0}$）。由于同胚保持开集性质，$A$ 开当且仅当 $x_0+A=T_{x_0}(A)$ 开。也可直接论证：若 $A$ 开，对任意 $y=x_0+a\in x_0+A$，存在 $\epsilon >0$ 使得 $B(a,\epsilon )\subset A$，则 $B(y,\epsilon )=x_0+B(a,\epsilon )\subset x_0+A$，故 $x_0+A$ 开；反之，若 $x_0+A$ 开，则 $A=-x_0+(x_0+A)$ 同样为开集。因此结论成立。

(3) 证明：平移同胚也保持闭集。若 $A$ 闭，任取序列 $\{y_n\}\subset x_0+A$ 且 $y_n\to y$，则存在 $a_n\in A$ 使得 $y_n=x_0+a_n$。于是 $a_n=y_n-x_0\to y-x_0$。由 $A$ 闭知 $y-x_0\in A$，故 $y=x_0+(y-x_0)\in x_0+A$，因此 $x_0+A$ 闭。反之，若 $x_0+A$ 闭，则 $A=-x_0+(x_0+A)$ 同样闭。得证。

(4) 证明：不妨设 $A$ 是开集（$B$ 开时类似）。任取 $z=a+b\in A+B$，其中 $a\in A$，$b\in B$。由 $A$ 开，存在 $\epsilon >0$ 使得 $B(a,\epsilon )\subset A$。现对任意 $w\in B(z,\epsilon )$，有 $\Vert w-z\Vert <\epsilon$。令 $a^{\prime }=a+(w-z)$，则 $\Vert a^{\prime }-a\Vert =\Vert w-z\Vert <\epsilon$，故 $a^{\prime }\in B(a,\epsilon )\subset A$。于是 $w=a^{\prime }+b\in A+B$。因此 $B(z,\epsilon )\subset A+B$，即 $z$ 为内点。由于 $z$ 任意，$A+B$ 是开集。

(5) 证明：因为 $A^{\circ }\ne \varnothing$，存在 $a_0\in A^{\circ }$ 及 $\delta >0$ 使得 $B(a_0,\delta )\subset A$。则对任意 $z\in B(0,\delta )$，有 $\Vert z\Vert <\delta$。注意到 $a_0+z\in B(a_0,\delta )\subset A$，且 $a_0\in A$，故 $z=(a_0+z)-a_0\in A-A$。因此 $B(0,\delta )\subset A-A$，即 $0$ 是 $A-A$ 的内点。