习题 2.6

考虑 $x_n\in C[0,2\pi ]$, 其中 $n\ge 1,x_n(t)=\sin (nt)$. 求证: 集合 $\left\{x_n:n\ge 1\right\}$ 线性无关.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：设 $n_1,n_2,\dots ,n_k$ 是互不相同的正整数，$c_1,c_2,\dots ,c_k\in \mathbb{R}$（或 $\mathbb{C}$）满足 $$\sum _{j=1}^k{c}_j\sin (n_{j}t)=0,\forall t\in [0,2\pi ].$$ 欲证所有 $c_j=0$。

固定某个 $i\in \{1,2,\dots ,k\}$，将上式两边乘以 $\sin (n_{i}t)$ 并在 $[0,2\pi ]$ 上积分，得 $$0={\int }_0^{2\pi }\left(\sum _{j=1}^k{c}_j\sin (n_{j}t)\right)\sin (n_{i}t)dt=\sum _{j=1}^k{c}_j{\int }_0^{2\pi }\sin (n_{j}t)\sin (n_{i}t)dt.$$ 由于三角函数的正交性： $${\int }_0^{2\pi }\sin (mt)\sin (nt)dt=\{\begin{array}{ll}0,& m\ne n,\\ \pi ,& m=n(m,n\ge 1),\end{array}$$ 因此上式中只有当 $j=i$ 时积分非零，即 $$0=c_i{\int }_0^{2\pi }{\sin }^2(n_{i}t)dt=c_i\cdot \pi .$$ 故 $c_i=0$。由 $i$ 的任意性知 $c_1=c_2=\cdots =c_k=0$。所以 $\{x_n:n\ge 1\}$ 是线性无关集。