习题 2.5

举例说明线性空间的线性子空间的并集不一定还是线性子空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

取 $V={\mathbb{R}}^2$ 为实数域上的二维向量空间。定义
$$U=\{(x,0)\mid x\in \mathbb{R}\},W=\{(0,y)\mid y\in \mathbb{R}\}.$$
$U$ 和 $W$ 均为 $V$ 的线性子空间（满足加法和数乘封闭，且包含零向量 $(0,0)$）。

考虑它们的并集 $U\cup W$。取 $u=(1,0)\in U\subseteq U\cup W$，$v=(0,1)\in W\subseteq U\cup W$，则
$$u+v=(1,1).$$
但 $(1,1)$ 既不在 $U$ 中（因为第二个分量不为 $0$），也不在 $W$ 中（因为第一个分量不为 $0$），故 $(1,1)\notin U\cup W$。因此 $U\cup W$ 对加法不封闭，不是 $V$ 的线性子空间。

此例说明线性空间的线性子空间的并集不一定还是线性子空间。