习题 2.4

给定闭区间 $[a,b]$, 考虑所有次数小于等于 $n$ 的实系数多项式所构成的集合 $X$. 证明: 在通常多项式的加法和多项式与实数的乘法运算下, $X$ 为实线性空间. 求 $X$ 的一个 Hamel 基. 若多项式的系数取复数, 证明: 相应的多项式集合 $Y$ 是复线性空间. $X$ 是 $Y$ 的线性子空间吗?

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

解答

1. $X$ 为实线性空间

设 $X=\{p:[a,b]\to \mathbb{R}\mid p(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n,a_i\in \mathbb{R}\}$，即所有次数不超过 $n$ 的实系数多项式构成的集合。在通常的多项式加法与实数数乘下：

• 加法：$(p+q)(x)=p(x)+q(x)$，
• 数乘：$(\lambda p)(x)=\lambda p(x),\lambda \in \mathbb{R}$。

验证线性空间的公理：

• 封闭性：对任意 $p,q\in X$，设 $p(x)={\sum }_{k=0}^n{a}_k{x}^k,q(x)={\sum }_{k=0}^n{b}_k{x}^k$，则 $(p+q)(x)={\sum }_{k=0}^n(a_k+b_k)x^k$，系数 $a_k+b_k\in \mathbb{R}$，且次数不超过 $n$，故 $p+q\in X$。对任意 $\lambda \in \mathbb{R}$，$(\lambda p)(x)={\sum }_{k=0}^n(\lambda a_k)x^k$，系数 $\lambda a_k\in \mathbb{R}$，次数不变，故 $\lambda p\in X$。

• 加法结合律、交换律：多项式的加法满足结合律与交换律，因此成立。

• 零元：零多项式 $0(x)=0$（系数全为零）属于 $X$，且对任意 $p\in X$ 有 $p+0=p$。

• 负元：对任意 $p(x)={\sum }_{k=0}^n{a}_k{x}^k$，取 $-p(x)={\sum }_{k=0}^n(-a_k)x^k\in X$，满足 $p+(-p)=0$。

• 数乘结合律：$\alpha (\beta p)=(\alpha \beta )p$ 由实数乘法结合律保证。

• 数乘单位元：$1\cdot p=p$。

• 分配律：$\lambda (p+q)=\lambda p+\lambda q$，$(\lambda +\mu )p=\lambda p+\mu p$，由多项式运算性质直接得到。

所有公理成立，因此 $X$ 是一个实线性空间。

2. $X$ 的一个 Hamel 基

取向量组 $\{1,x,x^2,\dots ,x^n\}$。

• 线性无关性：若 ${\sum }_{k=0}^n{c}_k{x}^k=0$（恒为零多项式），则所有系数 $c_k=0$。
• 张成空间：任意 $p\in X$ 可写为 $p(x)={\sum }_{k=0}^n{a}_k{x}^k$，即被该组线性表出。

故 $\{1,x,x^2,\dots ,x^n\}$ 构成 $X$ 的一组 Hamel 基。空间 $X$ 的维数为 $n+1$。

3. $Y$ 为复线性空间

设 $Y=\{p:[a,b]\to \mathbb{C}\mid p(x)=b_0+b_{1}x+\cdots +b_n{x}^n,b_i\in \mathbb{C}\}$，即次数不超过 $n$ 的复系数多项式集合。加法与数乘的定义同上，但数乘的标量取自 $\mathbb{C}$。

封闭性：系数之和、复数倍仍为复数，故 $p+q\in Y$，$\lambda p\in Y$。线性空间的其他公理与实数情形完全相同，因为复数集 $\mathbb{C}$ 也是一个域，且多项式运算满足相应性质。因此 $Y$ 是一个复线性空间。

4. $X$ 是否为 $Y$ 的线性子空间？

$X\subset Y$（实系数多项式可视为系数虚部为零的复系数多项式）。然而，$Y$ 是复线性空间，其数乘标量域为 $\mathbb{C}$。要成为 $Y$ 的（复）线性子空间，$X$ 必须对复数数乘封闭，即
$$\forall \lambda \in \mathbb{C},\forall p\in X,\lambda p\in X.$$
取 $\lambda =i$（虚数单位），$p(x)=1\in X$，则 $(i\cdot 1)(x)=i$，其系数为虚数，故 $i\notin X$。因此 $X$ 对复数数乘不封闭，从而 $X$ 不是 $Y$ 的线性子空间。

注：若将 $Y$ 视为实线性空间（限制数乘于实数），则 $X$ 是 $Y$ 的一个实线性子空间，但原题中 $Y$ 定义为复线性空间，故按通常意义不成立。