习题 2.3

设 $X,Y$ 为线性空间, $T:X\to Y$ 为线性算子且为单射. 求证: $\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\right\}$ 在 $X$ 中线性无关当且仅当 $\left\{T{x}_1,T{x}_2,\cdots ,T{x}_n\right\}$ 在 $Y$ 中线性无关.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

（必要性）假设 $\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$ 在 $X$ 中线性无关。设标量 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 满足 ${\sum }_{i=1}^n{\alpha }_{i}T{x}_i=0$。由 $T$ 的线性性， $$T\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i\right)=\sum _{i=1}^n{\alpha }_{i}T{x}_i=0.$$ 因为 $T$ 是单射，其核 $\ker T=\{0\}$，故 ${\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i=0$。再利用 $\{x_i\}$ 的线性无关性，得 ${\alpha }_1=\cdots ={\alpha }_n=0$。因此 $\{T{x}_1,\dots ,T{x}_n\}$ 线性无关。

（充分性）假设 $\{T{x}_1,T{x}_2,\dots ,T{x}_n\}$ 在 $Y$ 中线性无关。设标量 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 满足 ${\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i=0$。应用 $T$ 得 $$T\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i\right)=\sum _{i=1}^n{\alpha }_{i}T{x}_i=T(0)=0.$$ 由 $\{T{x}_i\}$ 的线性无关性，必有 ${\alpha }_1=\cdots ={\alpha }_n=0$。故 $\{x_1,\dots ,x_n\}$ 线性无关。

综上，命题得证。$\square$