习题 2.2

设 $X$ 为 $n$ 维复线性空间, $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}$ 为 $X$ 的 Hamel 基, 将 $X$ 视为实线性空间 $X_{\mathbb{R}}$, 求 $X_{\mathrm{R}}$ 的 Hamel 基.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

设 (X) 是 (n) 维复线性空间，({e_1,\dots,e_n}) 是 (X) 的一组基（Hamel 基）。将 (X) 视为实线性空间 (X_{\mathbb{R}})（即只允许实数标量乘法）。则 (X_{\mathbb{R}}) 的一组 Hamel 基为 $$\{e_1,i{e}_1,e_2,i{e}_2,\dots ,e_n,i{e}_n\},$$ 其中 (i) 是虚数单位。此时 (X_{\mathbb{R}}) 的维数为 (2n)。

证明：
任取 (x\in X)，由于 ({e_k}) 是复基，存在复数 (\alpha_k = a_k + i b_k) ((a_k,b_k\in\mathbb{R})) 使得 $$x=\sum _{k=1}^n{\alpha }_k{e}_k=\sum _{k=1}^n{a}_k{e}_k+\sum _{k=1}^n{b}_k(i{e}_k).$$ 因此 ({e_k, i e_k}) 张成 (X_{\mathbb{R}})。

设实数 (\lambda_k,\mu_k\in\mathbb{R}) 满足 $$\sum _{k=1}^n({\lambda }_k{e}_k+{\mu }_k(i{e}_k))=0.$$ 由于 (X) 是复线性空间，可将上式改写为 $$\sum _{k=1}^n({\lambda }_k+i{\mu }_k)e_k=0.$$ 因为 ({e_k}) 在复数域上线性无关，故 (\lambda_k + i\mu_k = 0) 对所有 (k) 成立，从而 (\lambda_k = \mu_k = 0)。这表明 ({e_k, i e_k}) 在实数域上线性无关。

综上，该集合是 (X_{\mathbb{R}}) 的一组 Hamel 基，基数为 (2n)。∎