习题 2.1

判定下述 ${\mathbb{R}}^3$ 的哪些子集构成 ${\mathbb{R}}^3$ 的线性子空间(这里 $\mathbf{x}=\left(x_1,x_2,x_3\right)\in {\mathbb{R}}^3$ ).

1. 所有满足 $x_1=x_2$, 且 $x_3=0$ 的 $\mathbf{x}$;

2. 所有满足 $x_2=x_1+1$ 的 $\mathbf{x}$;

3. 所有满足 $x_1\ge 0$ 且 $x_2\le 0$ 的 $\mathbf{x}$;

4. 所有满足 $x_1+x_2-x_3=0$ 的 $\mathbf{x}$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

解 ${\mathbb{R}}^3$ 的子集 $M$ 是线性子空间当且仅当 $M\ne \varnothing$，且对加法和数乘封闭，即

• $0\in M$；
• 对任意 $x,y\in M$，有 $x+y\in M$；
• 对任意 $\alpha \in \mathbb{R}$ 和 $x\in M$，有 $\alpha x\in M$。

以下逐一判定。

1. $M_1=\{\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{R}}^3\mid x_1=x_2,x_3=0\}$

• 零向量：$(0,0,0)$ 满足 $0=0$ 且 $0=0$，故 $0\in M_1$。
• 加法封闭：任取 $\mathbf{u}=(u_1,u_1,0),\mathbf{v}=(v_1,v_1,0)\in M_1$，则
  [ \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=(u_1+v_1,\ u_1+v_1,\ 0), ]
  满足 $x_1=x_2$ 且 $x_3=0$，故 $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in M_1$。
• 数乘封闭：任取 $\alpha \in \mathbb{R}$，$\mathbf{u}=(u_1,u_1,0)\in M_1$，则
  [ \alpha\boldsymbol{u}=(\alpha u_1,\ \alpha u_1,\ 0), ]
  满足 $x_1=x_2$ 且 $x_3=0$，故 $\alpha \mathbf{u}\in M_1$。

因此 $M_1$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的线性子空间。

2. $M_2=\{\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{R}}^3\mid x_2=x_1+1\}$

• 零向量：$(0,0,0)$ 应满足 $0=0+1$，即 $0=1$，不成立，故 $0\notin M_2$。

不满足子空间的基本要求，因此 $M_2$ 不是线性子空间。

（亦可验证加法或数乘不封闭，但无需再证。）

3. $M_3=\{\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{R}}^3\mid x_1\ge 0,x_2\le 0\}$

• 零向量：$(0,0,0)$ 满足 $0\ge 0$ 且 $0\le 0$，故 $0\in M_3$。
• 加法封闭：任取 $\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3),\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)\in M_3$，则 $u_1,v_1\ge 0$，$u_2,v_2\le 0$。
  于是 $u_1+v_1\ge 0$，$u_2+v_2\le 0$，故 $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in M_3$。
• 数乘封闭：取 $\mathbf{u}=(1,-1,0)\in M_3$，令 $\alpha =-1\in \mathbb{R}$，则
  [ \alpha\boldsymbol{u}=(-1,1,0), ]
  此时 $x_1=-1<0$，不满足 $x_1\ge 0$，故 $\alpha \mathbf{u}\notin M_3$。

数乘不封闭，因此 $M_3$ 不是线性子空间。

4. $M_4=\{\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{R}}^3\mid x_1+x_2-x_3=0\}$

• 零向量：$(0,0,0)$ 满足 $0+0-0=0$，故 $0\in M_4$。
• 加法封闭：任取 $\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3),\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)\in M_4$，即 $u_1+u_2-u_3=0$，$v_1+v_2-v_3=0$。
  则
  [ (\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})_1+(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})_2-(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})_3=(u_1+v_1)+(u_2+v_2)-(u_3+v_3)=(u_1+u_2-u_3)+(v_1+v_2-v_3)=0, ]
  故 $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in M_4$。
• 数乘封闭：任取 $\alpha \in \mathbb{R}$，$\mathbf{u}\in M_4$，则
  [ (\alpha u_1)+(\alpha u_2)-(\alpha u_3)=\alpha(u_1+u_2-u_3)=\alpha\cdot0=0, ]
  故 $\alpha \mathbf{u}\in M_4$。

因此 $M_4$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的线性子空间。

结论：构成 ${\mathbb{R}}^3$ 线性子空间的集合是 1 和 4。