习题 2.34

设 $X$ 为 $n$ 维赋范空间, $M$ 为其 $m$ 维线性子空间, 且 $m<n$. 求证: $$\dim \left({}^{\perp }M\right)=n-m.$$

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明： 由于 $X$ 是有限维赋范空间，其代数对偶 $X^{\ast }$（即所有线性泛函）与连续对偶重合，且 $\dim X^{\ast }=\dim X=n$. 记 $M$ 的零化子为 $${}^{\perp }M=\{f\in X^{\ast }\mid f(x)=0,\forall x\in M\}.$$ 取 $M$ 的一组基 $x_1,\dots ,x_m$，将其扩充为 $X$ 的一组基 $x_1,\dots ,x_m,x_{m+1},\dots ,x_n$. 设 $\{f_1,\dots ,f_n\}\subset X^{\ast }$ 为相应的对偶基，即满足 $f_i(x_j)={\delta }_{ij}$ ($1\le i,j\le n$). 则对 $i=m+1,\dots ,n$，由于任意 $x\in M$ 可表为 $x_1,\dots ,x_m$ 的线性组合，而 $f_i$ 在这些向量上取零，故 $f_i\in {}^{\perp }M$.

现证 $\{f_{m+1},\dots ,f_n\}$ 构成 ${}^{\perp }M$ 的基. 首先它们线性无关（作为对偶基的子集）. 其次任取 $f\in {}^{\perp }M$，因 $\{f_1,\dots ,f_n\}$ 是 $X^{\ast }$ 的基，存在标量 $a_1,\dots ,a_n$ 使 $f={\sum }_{i=1}^n{a}_i{f}_i$. 对每个 $j=1,\dots ,m$，计算 $$f(x_j)=\sum _{i=1}^n{a}_i{f}_i(x_j)=a_j,$$ 而 $f\in {}^{\perp }M$ 蕴含 $f(x_j)=0$，故 $a_j=0$. 于是 $f={\sum }_{i=m+1}^n{a}_i{f}_i$，即 $f$ 可由 $\{f_{m+1},\dots ,f_n\}$ 线性表示. 因此 $\{f_{m+1},\dots ,f_n\}$ 是 ${}^{\perp }M$ 的一组基，从而 $$\dim ({}^{\perp }M)=n-m.$$ 这就完成了证明.